5．[2014·陕西卷文] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
a．4π b．3π c．2π d．π
5．c [解析] 由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π.
8．[2014·江苏卷] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是___
8. [解析] 因为＝＝＝所以＝.又圆柱的侧面积s侧＝2πrh，所以s侧1＝2πr1h1＝s侧2＝2πr2h2，则＝＝，故＝＝×
13．[2014·山东卷] 三棱锥p abc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥d abe的体积为v1，p abc的体积为v2，则。
13. [解析] 如图所示，由于d，e分别是边pb与pc的中点，所以s△bde＝s△pbc.又因为三棱锥a bde与三棱锥a pbc的高长度相等，所以＝.
8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
a. b．16π c．9π d.
8．a [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以ae＝ac＝.设球心为o，球的半径为r，则oe＝4－r，oa＝r，又知△aoe为直角三角形，根据勾股定理可得，oa2＝oe2＋ae2，即r2＝(4－r)2＋2，解得r＝，所以球的表面积s＝4πr2＝4π×＝
8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷[qūn]盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积v的近似公式v≈l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.
那么，近似公式v≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
a. b. c. d.
8．b [解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为s，则l＝2πr，由题意得l2h≈sh，代入s＝πr2化简得π≈3；类比推理，若v＝l2h，则π≈.故选b.
7．、[2014·辽宁卷文理] 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为( )
a．8－2π b．8－π c．8－ d．8－
图117．b [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2××π2＝8－π.
7．[2014·安徽卷文理] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的表面积为( )
a．21＋ b．8＋
c．21 d．18
图127．a [解析] 如图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其表面积s＝6×4－×6＋2×××21＋.
11．[2014·北京卷文] 某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为___
图1311．2 [解析] 该三棱锥的直观图如图所示，并且pb⊥平面abc，pb＝2，ab＝2，ac＝bc＝，pa＝＝2，pc＝＝，故pa最长．
7．[2014·北京卷理] 在空间直角坐标系oxyz中，已知a(2，0，0)，b(2，2，0)，c(0，2，0)，d(1，1，)．若s1，s2，s3分别是三棱锥d abc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
a．s1＝s2＝s3 b．s2＝s1且s2≠s3
c．s3＝s1且s3≠s2 d．s3＝s2且s3≠s1
7．d [解析] 设顶点d在三个坐标平面xoy、yoz、zox上的正投影分别为d1、d2、d3，则。
ad1＝bd1＝，ab＝2，∴s1＝×2×2＝2，s2＝socd2＝×2×＝，s3＝soad3＝×2×＝.选d.
17．、[2014·北京卷文] 如图15，在三棱柱abc a1b1c1中，侧棱垂直于底面，ab⊥bc，aa1＝ac＝2，bc＝1，e，f分别是a1c1，bc的中点．
图151)求证：平面abe⊥平面b1bcc1；
2)求证：c1f∥平面abe；
3)求三棱锥e abc的体积．
17．解：(1)证明：在三棱柱abc a1b1c1中，bb1⊥底面abc，所以bb1⊥ab.
又因为ab⊥bc，所以ab⊥平面b1bcc1.
所以平面abe⊥平面b1bcc1.
2)证明：取ab的中点g，连接eg，fg.
因为e，f，g分别是a1c1，bc，ab的中点，所以fg∥ac，且fg＝ac，ec1＝a1c1.
因为ac∥a1c1，且ac＝a1c1，所以fg∥ec1，且fg＝ec1，所以四边形fgec1为平行四边形，所以c1f∥eg.
又因为eg平面abe，c1f平面abe，所以c1f∥平面abe.
3)因为aa1＝ac＝2，bc＝1，ab⊥bc，所以ab＝＝.
所以三棱锥e abc的体积。
v＝s△abc·aa1＝××1×2＝.
17．、[2014·北京卷理] 如图13，正方形amde的边长为2，b，c分别为am，md的中点．在五棱锥p abcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd，pc分别交于点g，h.
1)求证：ab∥fg；
2)若pa⊥底面abcde，且pa＝ae，求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长．
图1317．解：(1)证明：在正方形amde中，因为b是am的中点，所以ab∥de.
又因为ab平面pde，所以ab∥平面pde.
因为ab平面abf，且平面abf∩平面pde＝fg，所以ab∥fg.
2)因为pa⊥底面abcde，所以pa⊥ab，pa⊥ae.
建立空间直角坐标系axyz，如图所示，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(2，1，0)，p(0，0，2)，f(0，1，1)，＝1，1，0)．
设平面abf的法向量为n＝(x，y，z)，则。
即。令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．
设直线bc与平面abf所成角为α，则。
sin α＝cos〈n，〉|
因此直线bc与平面abf所成角的大小为。
设点h的坐标为(u，v，w)．
因为点h在棱pc上，所以可设＝λ 0<λ<1)．
即(u，v，w－2)＝λ2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.
因为n是平面abf的一个法向量，所以n·＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ2－2λ)＝0，解得λ＝，所以点h的坐标为。
所以ph＝＝2.
18．，，2014·四川卷] 三棱锥a bcd及其侧视图、俯视图如图14所示．设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mn⊥np.
1)证明：p是线段bc的中点；
2)求二面角a np m的余弦值．
图1418．解：(1)如图所示，取bd的中点o，连接ao，co.
由侧视图及俯视图知，△abd，△bcd为正三角形，所以ao⊥bd，oc⊥bd.
因为ao，oc平面aoc，且ao∩oc＝o，所以bd⊥平面aoc.
又因为ac平面aoc，所以bd⊥ac.
取bo的中点h，连接nh，ph.
又m，n，h分别为线段ad，ab，bo的中点，所以mn∥bd，nh∥ao，因为ao⊥bd，所以nh⊥bd.
因为mn⊥np，所以np⊥bd.
因为nh，np平面nhp，且nh∩np＝n，所以bd⊥平面nhp.
又因为hp平面nhp，所以bd⊥hp.
又oc⊥bd，hp平面bcd，oc平面bcd，所以hp∥oc.
因为h为bo的中点，所以p为bc的中点．
2)方法一：如图所示，作nq⊥ac于q，连接mq.
由(1)知，np∥ac，所以nq⊥np.
因为mn⊥np，所以∠mnq为二面角a np m的一个平面角．
由(1)知，△abd，△bcd为边长为2的正三角形，所以ao＝oc＝.
由俯视图可知，ao⊥平面bcd.
因为oc平面bcd，所以ao⊥oc，因此在等腰直角△aoc中，ac＝.
作br⊥ac于r
因为在△abc中，ab＝bc，所以r为ac的中点，所以br＝＝.
因为在平面abc内，nq⊥ac，br⊥ac，所以nq∥br.
又因为n为ab的中点，所以q为ar的中点，所以nq＝＝.
同理，可得mq＝.
故△mnq为等腰三角形，所以在等腰△mnq中，cos∠mnq＝＝＝
故二面角a np m的余弦值是。
方法二：由俯视图及(1)可知，ao⊥平面bcd.
因为oc，ob平面bcd，所以ao⊥oc，ao⊥ob.
又oc⊥ob，所以直线oa，ob，oc两两垂直．
如图所示，以o为坐标原点，以ob，oc，oa的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系o xyz.
则a(0，0，)，b(1，0，0)，c(0，，0)，d(－1，0，0)．
因为m，n分别为线段ad，ab的中点，又由(1)知，p为线段bc的中点，所以m，n，p，于是ab＝(1，0，－)bc＝(－1，，0)，mn＝(1，0，0)，np＝.
设平面abc的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，由得即。
从而。取z1＝1，则x1＝，y1＝1，所以n1＝(，1，1)．
设平面mnp的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，得。即。从而。
取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．
设二面角a np m的大小为θ，则cos θ＝
故二面角anpm的余弦值是。
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