2024年高考真题立体几何汇编。
17.（2014山东）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形， ，是线段的中点。
）求证。）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值。
解：（ⅰ连接。
为四棱柱，
又为的中点，
为平行四边形。
又 ⅱ）方法一：
作，连接。则即为所求二面角。
在中， 在中，,
方法二：作于点。
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为。
显然平面的法向量为。
显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为。
16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．
1）求证：直线pa∥平面def；
2）平面bde⊥平面abc．
答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
1）∵为中点 ∴de∥pa
平面def，de平面def ∴pa∥平面def
2）∵为中点 ∴
为中点 ∴ ∴，de⊥ef，∴
∴de⊥平面abc
de平面bde， ∴平面bde⊥平面abc．
18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。
1）证明：为线段的中点；
2）求二面角的余弦值。
解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：
平面平面，
设为的中点，连接，
于是， 所以平面。
因为，分别为线段，的中点，所以，又，故。
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线。
从而平面，这与矛盾。
所以为线段的中点。
2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，
于是，， 设平面和平面的法向量分别为和。
由，设，则。
由，设，则。
所以二面角的余弦值。
17.（本小题满分12分）
在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图。
1）求证： ；
2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值。
17）（2014天津）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点。
ⅰ）证明；ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
ⅲ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。
17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识。 考查用空间向量解决立体几何问题的方法。 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
满分13分。
依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，由为棱的中点，得。
ⅰ）证明：向量，，故。 所以，.
ⅱ）解：向量，.
设为平面的法向量，则即。
不妨令，可得为平面的一个法向量。于是有。
所以，直线与平面所成角的正弦值为。
ⅲ）解：向量，，，
由点在棱上，设，.
故。由，得，因此，，解得。即。
设为平面的法向量，则即。
不妨令，可得为平面的一个法向量。
取平面的法向量，则。
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为。
19． （2014湖南）（本小题满分12分）
如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．
i） 证明：
ii） 若的余弦值．
18．（2014广东）（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点。
1）证明：2）求二面角的余弦值。
18.（１平面，又，平面，又，平面，即；
２）设，则中，，又，，由（１）知，又，，同理，如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由（１）知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，即所求．
20．（2014安徽）(本题满分13分)如图，四棱柱中，底面。四边形为梯形，,且。过三点的平面记为，与的交点为。（ⅰ证明：为的中点；
ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
ⅲ）若，，梯形的面积为6，求。
平面与底面所成二面角大小。
20．（本小题满分13分）
（ⅰ）证：∵
从而平面与这两个平面的交线相互平行，即。
故与的对应边相互平行，于是，即为的中点。
ⅱ）解：如图，连接qa，qd。设，梯形abcd的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则。，∴
又，∴ 故。
ⅲ）解法1：如图1，在中，作，垂足为e，连接。又，且。
为平面和平面abcd所成二面角的平面角。，
又∵梯形abcd的面积为6，dc=2，∴，
于是，故平面和底面abcd所成二面角的大小为。
解法2：如图2，以d为原点，，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系。
设。因为，所以，从而，
设平面的法向量为。
由得。所以又平面abcd的法向量。
所以。故平面和底面abcd所成二面角的大小为。
17.（2014北京）（本小题14分）
如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥。
中，为棱的中点，平面与棱分别交于点。
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并。
求线段的长。
17）（共14分）
解：（i）在正方形中，因为b是am的中点，所以∥。
又因为平面pde，所以∥平面pde，因为平面abf，且平面平面，所以∥。
ⅱ）因为底面abcde,所以，.
如图建立空间直角坐标系，则。
设平面abf的法向量为，则。
即。令，则。所以，设直线bc与平面abf所成角为a,则。
设点h的坐标为。
因为点h在棱pc上，所以可设，即。所以。
因为是平面abf的法向量，所以，即。
解得，所以点h的坐标为。
所以。19、（2014上海）（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积。
19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥。
侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形。
由题得，又∵三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体。
如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于。
为中点，为的重心，底面，
19（2014湖北）(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且。
1）当时，证明：直线平面；
2）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
19（2014江西）(本小题满分12分)
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面。
1）求证：
2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值。
19. （2014辽宁）（本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，e、f分别为ac、dc的中点。
1）求证：；
2）求二面角的正弦值。
17. （2014陕西）（本小题满分12分）
四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分。
别交四面体的棱于点。
）证明：四边形是矩形；
）求直线与平面夹角的正弦值。
20. （2014浙江）（本题满分15分）如图，在四棱锥中， 平面平面。
1）证明：平面；
2）求二面角的大小。
19.（2014重庆）（本小题满分12分）
如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且。
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值。
19、（本小题满分12份）
解：（i）如图（a），因为四边形为矩形，所以。同理。因为∥，所以。而，因此底面abcd。由题设知，∥。故底面abcd。
ⅱ）解法i如图（a），过作于h，连接。
由（i）知，底面abcd，所以底面，于是。
又因为四棱柱abcd-的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而，所以，于是，进而。故是二面角的平面角。
不妨设ab=2。因为，所以，。
在中，易知。而，于是。
故。即二面角的余弦值为。
解法2 因为四棱柱abcd-的所有棱长都相等，所以四边形abcd是菱形，因此。又底面abcd，从而ob，oc,两两垂直。
如图（b），以o为坐标原点，ob,oc,所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设ab=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：o(0，0，0)，，
易知，是平面的一个法向量。
设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。
设二面角的大小为，易知是锐角，于是。
故二面角的余弦值为。
广东高考立体几何真题
1 2014广东13分 如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点。1 证明 2 求二面角的余弦值。1.平面，又，平面，又，平面，即 设，则中，又，由 知，又，同理，如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由 知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知...
立体几何题
1 如图，四边形abcd是边长为1的正方形，且md nb 1，e为bc的中点。段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长 若不存在，请说明理由。2正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，i 求证 ii 设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请...
立体几何题
17 本小题满分13分 直三棱柱abc a1b1c1中，acb 120 ac cb a1a 1，d1是a1b1上一动点 可。以与a1或b1重合 过d1和c1c的平面与ab交于d.证明bc 平面ab1c1 若d1为a1b1的中点，求三棱。锥b1 c1ad1的体积 求二面角d1 ac1 c的取值范围。1...