2019立体几何典题赏析

题目1：.[2011·四川理]如图所示，在直三棱柱abc－a1b1c1中，bac＝90°，ab＝ac＝aa1＝1，延长a1c1至点p，使c1p＝a1c1，连结ap交棱cc1于点d.

1)求证：pb1∥平面bda1；

2)求二面角a－a1d－b的平面角的余弦值．

解：如图17－1，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系a1－xyz，则a1(0,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0)，b(1,0,1)，p(0,2,0)．

1)在△paa1中有c1d＝aa1，即d.

设平面ba1d的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则。

令c＝－1，则n1＝.图1－7

n1·＝1×(－1)＋×2＋(－1)×0＝0，pb1∥平面bda1，2)由(1)知，平面ba1d的一个法向量n1＝.

又n2＝(1,0,0)为平面aa1d的一个法向量，cos〈n1，n2〉＝＝故二面角a－a1d－b

题目3. 已知正方体的棱长为a．

1)求点到平面的距离；

2)求平面与平面所成的二面角余弦值。

解 (1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、，向量，，．

设是平面的法向量，于是，有。

即．令得．于是平面的一个法向量是。

因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)

2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是。

设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则。

题目4：已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

ⅰ）证明：面面；

ⅱ）求与所成的角；

ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图4-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为。

ⅰ）证明：因。

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面。又在面上，故面⊥面。

ⅱ）解：因。

ⅲ）解：在上取一点，则存在使。要使。为。

所求二面角的平面角。

题目6：如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上。

一点，. 已知。

求（ⅰ）异面直线与的距离；

（ⅱ）二面角的大小。

解：（ⅰ以为原点，、、分别为。

轴建立空间直角坐标系。

由已知可得。

设。由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线。

的距离为。ⅱ）作，可设。由得。

即作于，设，则。

由，又由在上得。

因故的平面角的大小为向量的夹角。

故即二面角的大小为。

总之，在利用空间向量解决立体几何问题时，经常是通过建立空间直角坐标系，及点的坐标做为沟通向量与几何图形关系的纽带和桥梁的，恰当建系，准确示点，是关键，故而，要适当的加强解题训练，并及时总结，感悟方法，提升能力。

解答题：17. [2011·天津卷] 如图所示，在三棱柱abc－a1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa1＝2，c1h⊥平面aa1b1b，且c1h＝.

1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；

2)求二面角a－a1c1－b1的正弦值；

3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn⊥平面a1b1c1，求线段bm的长．

解：如图18-1所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点．

依题意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，－a1(2，2，0)，b1(0,2，0)，c1(，，

(1)易得2，0,0)，于是cos〈，〉

所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为。

2)易知＝(0,2，0

设平面aa1c1的法向量＝(x，y，z)，则。

即。不妨令x＝，可得＝(，0，)．

同样地，设平面a1b1c1的法向量＝(x，y，z)，则。

即。不妨令y＝，可得＝(0，，)

于是cos〈，〉从而sin〈，〉

所以二面角a－a1c1－b1的正弦值为。

3)由n为棱b1c1的中点，得n.

设m(a，b,0)，则＝.

由mn⊥平面a1b1c1，得。

即得。|bm|=

19. 如右下图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，已知ab= 4, ad =3, aa1= 2．

e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb= fb=1．

1) 求二面角c—de—c1的正切值； (2) 求直线ec1与fd1所成的余弦值．

解：（i）以a为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有d(0,3,0)、d1(0,3,2)、e(3,0,0)、f(4,1,0)、c1(4,3,2),故。

设向量与平面c1de垂直，则有。

ii）设ec1与fd1所成角为β，则。

20. 已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1，m是底面bc边上的中点，n是侧棱cc1上的点，且cn＝2c1n．

ⅰ）求二面角b1－am－n的平面角的余弦值；（ⅱ求点b1到平面amn的距离。

解（ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，m（0，，0）,c(0,1,0), n (0,1,) a ()所以，因为。

所以，同法可得。

故﹤﹥为二面角—am—n的平面角。

故二面角—am—n的平面角的余弦值为。

ⅱ）设n=(x, y, z)为平面amn的一个法向量，则由得。

故可取。设与n的夹角为a，则。

所以到平面amn的距离为。

22．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

ⅰ）证明：面面；

ⅱ）求与所成的角；

ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图25-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为。

ⅰ）证明：因。

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面。又在面上，故面⊥面。

ⅱ）解：因。

ⅲ）解：在上取一点，则存在使。要使。为。

所求二面角的平面角。

23.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．

（ⅰ）证明：平面；

（ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系。

（ⅰ）证明：不防设作，则，，

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直。 ∴平面。

（ⅱ）解：设为中点，则，由。

因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为。

25．如图，在长方体，中，，点在棱上移动。（1）证明：；

（2）当为的中点时，求点到面的距离；

（3）等于何值时，二面角的大小为。

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则。

2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则。

也即，得，从而，所以点到平面的距离为。

3）设平面的法向量，∴

由令，依题意。

（不合，舍去），.

时，二面角的大小为。

26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上。