立体几何基础题题库三（有详细答案）
201. ．已知过球面上a、b、c三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ab=bc=ac=2，求球的体积。
解析：过a、b、c三点截面的小圆的半径就是正△abc的外接圆的半径，它是ｒｔ△中所对的边，其斜边为，即球的半径为，∴；
202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。
解析：设正四面体的面bcd和面acd的中心分别为，连结与并延长，必交于cd的中点e，又，，连接，在rt△中，连结与交于，由rt△ｒｔ同理可证到另二面的距离也等，为四面体外接球与内接球的球心，由△∽△203. 在rtδabc中，ab＝bc，e、f分别是ac和ab的中点，以ef为棱把它折成大小为β的二面角a—ef—b后，设∠aec＝α，求证：
2cosα-cosβ＝-1.
解析：∠afb＝β.可证：bc⊥ab，然后利用ac2＝bc2+ab2即可证得。
204. 如图：d、e是是等腰直角三角形abc中斜边bc的两个三等分点，沿ad和ae将△abd和△ace折起，使ab和ac重合，求证：平面abd⊥平面abe.
解析：过d作df⊥ab交ab于f，连结ef，计算df、ef的长，又de为已知，三边长满足勾股定理，∴∠dfe＝；
205. 已知正三棱柱abc—的底面边长为８，侧棱长为６，d为ac中点，１）求证：ab1∥平面c1db；（２求异面直线ab1与bc1所成角的余弦值。
1) 解析：连ｂ１ｃ交bc１于e，连结ed，则ab１∥de，由线面平行定理得ab１∥平面bdc１；（ab１∥ｄde与bc１所成锐角就是异面直线ab１与bc１所成的角，又bd⊥dc，在rt△bdc１中，易知be＝bc１＝５de＝５，bd＝，在△bde中，∠bed＝，∴异面直线ab１与bc１所成角的余弦值为。
206. 已知（如图）：三棱锥p—abc中，异面直线pa与bc所成的角为，二面角p—bc—a为，△pbc和△abc的面积分别为16和10，bc＝４.
求：（１pa的长；（２三棱柱p—abc的体积。
解析：1)作ad⊥bc于d，连pd，由已知pa⊥bc，∴bc⊥面pad，∴bc⊥pd，∴∠pda为二面角的平面角，∴∠pdf＝，可算出pd＝８，ad＝５，pa＝７;2)ｖ＝
207. 如图2－33：线段pq分别交两个平行平面α、β于a、b两点，线段pd分别交α、β于c、d两点，线段qf分别交α、β于f、e两点，若pa＝9，ab＝12，bq＝12， acf的面积为72，求bde的面积。
解析： 求bde的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知acf的面积，若bde与acf的对应边有联系的话，可以利用acf的面积求出bde的面积。
提示：①abc的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则abc的面积s＝absinθ,②sinα=sin(180°-α
解答：∵平面qaf∩α＝af，平面qaf∩β＝be，又∵α∥af∥be
同理可证：ac//bd，∴∠fac与∠ebd相等或互补，即sin∠fac= sin∠ebd.
由 af∥be，得，∴be＝af
由bd//ac，得：，∴bd＝ac
又∵acf的面积为72，即af·ac·sin∠fac＝72，＝be·bd·sin∠ebd
＝·af·ac·sin∠fac
＝·af·ac·sin∠fac＝×72＝84
bde的面积为84平方单位。
208. a、b、c为三条不重合的直线，α、为三个不重合平面，现给出六个命题， ②
其中正确的命题是（ ）
ab. ①c. ①d. ①
解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。
解答： ①三线平行公理，两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面。
二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行。
面面平行传递性，一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，故①④正确。
应选c。209. 长方体abcd－a1b1c1d1中，ab1与a1d所成的角为α，ac与bc1所成的角为β，a1c1与cd1所成的角为γ。
求证：α＋解析：作如图的辅助线。
则∠ab1c为ab1与a1d所成的角∠ab1c＝α
aba1b1c1d1
bc1//ad1，故∠d1ac为ac与bc1所成的角∠d1ac＝β
aa1dd1cc1，∴a1c1//ac
∠d1ca即为a1c1与cd1所成的角∠d1ca＝γ
在△acd1和△acb1中，ab1＝cd1，b1c＝d1a，ac＝ca
△acd1≌△cab1，故∠ab1c＝∠ad1c，故∠ad1c＝α
在△ad1c中，∠ad1c＋∠d1ca＋∠d1ac＝π
即：α＋210.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。
已知α∥β求证：α∥
解析：如图2－ ，作两个相交平面分别与α、β交于a、c、e和b、d、f
211. 下列说法中正确的是（ ）
a. 直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//α
b. 若直线a在平面α外，则a//α
c. 若直线a//b，直线bα，则a//α
d. 若直线a//b，bα，那么a就平行于平面α内的无数条直线。
解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。
解答： 由直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除a
直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除b
直线a//b ，bα只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除c
a//b，bα，那么aα或a//α故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择d
点评： 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。
212.如图2－20，两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，m∈ac，n∈fb，且am＝fn，求证：mn//平面bce。
解析： 要证mn//平面bce，就是要在平面bce上找一条直线，证明它与mn平行即可。
证明： 连结an并延长，交be延长张于g，连结cg。
由af//bg，知，故mn//cg，mn平面bce，cg平面bce，于是mn//平面bce。
点评：证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。
213. 如图2－21，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为2，e为dd1的中点，1）判断bd1和过a、c、e三点的平面的位置关系，并证明你的结论。
2）求ace的面积。
证明（1）：连结bd，令bd∩ac＝f。
bd1和过a、c、e三点的平面平行，则f是db的中点，又e是dd1的中点，
ef∥bd1
又ef平面ace，bd1平面ace，bd1∥平面ace
2）在正方形abcd中，ab＝2，ac＝2，∴af＝
在直角△ade中，ad＝2，de＝1，∴ae＝
在rt△eaf中，ef＝＝＝
214. 直线a//直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论。
证明：假设直线b与α不相交，则bα或b//α
1)若bα，由a//b，bα，aαa//α与a与平面α相交矛盾，故bα不可能。
2)若b//α又a// b，a，b可以确定平面β，设α∩βc，由cα,知b与c没有公共点，又b、c同在平面β内，故b//c，又a//b，故a//c，cα，aαa//α这与a与平面α相交矛盾。故b不平行α。
综上所述，b与α必相交。
215.如图2－22：在长方体ac1中，1）求证：bc1//平行平面ab1d1
2）若e、f分别是d1c，bd的中点，则ef//add1a1
解析：（1）∵d1c1dcab
abc1d1是平行四边形。
bc1//ad1
又bc1平面ab1d1，又ad1平面ab1d1
bc1//平面ab1d1
2）证明：连结af、cf、ad1，abcd是正方形，且f是bd的中点，知a、f、c三点共线，且f是ac的中点，又e是cd1的中点。
ef//ad，又ef平面add1a1，ad平面add1a1，ef//平面add1a1
216.在正方体木块abcd－a1b1c1d1的表面上有一动点p由顶点a出发按下列规则向点c1移动；
点p只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；
点p每一变化位置，都使p点到c1点的距离缩短。
动点p共有___种不同的运行路线。
解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从b到c1，就有3种不同路线）
经过一条边，一条对角线的情况有6种，，，
经过三条边的情况有6种：，
217. 判定下列命题的真假。
1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。
解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图2－55，正方体ac1中，平面ac⊥平面ad1，平面ac∩平面ad1＝ad，在ad上取点a，连结ab1，则ab1⊥ad，即过棱上一点a的直线ab1
与棱垂直，但ab1与平面abcd不垂直，其错误的原因是ab1没***在平面add1a1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；
2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正方体ac1中，平面ad1⊥平面ac，ad1平面add1a1，ab平面abcd，且ab⊥ad1，即ab与ad1相互垂直，但ad1与平面abcd不垂直；
3）如图2－56：正方体ac1中，平面add1a1⊥平面abcd，ad1平面add1a1，ac平面abcd，ad1与ac所成的角为60，即ad1与ac不垂直。
立体几何基础题题库
7.设a b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题。若 若。其中正确的命题的个数是。a 0个 b 1个 c 2个 d 3个。b 解析 注意 中b可能在 上 中a可能在 上 中b 或均有，故只有一个正确命题。8.如图所示，已知正四棱锥s abcd侧棱长为，底。面边长为，e是sa的中点，则异...
立体几何基础题题库
立体几何基础题题库351 400 有详细答案 351.1 已知直线a 平面 a 平面 求证 2 已知三个平面求证 解析 1 如图答9 41，a 在 上任取一点，过a与a确定平面 设，则 a 2 在 上任取p，设，在 内作，pqpq pq 352.在正方体中，求二面角的大小 解析 如图9 43，在平面...
立体几何基础题题库
131.如图在二面角 l 中，a b c d l，abcd为矩形，p pa 且pa ad，mn依次是ab pc的中点。求二面角 l 的大小。求证明 mn ab 求异面直线pa与mn所成角的大小。解析 用垂线法作二面角的平面角。只要证明ab垂直于过mn的一个平面即可。过点a作mn的平行线，转化为平面角...