131.如图在二面角α- l-β中，a、b∈α，c、d∈l，abcd为矩形，p∈β，pa⊥α，且pa=ad，mn依次是ab、pc的中点。
求二面角α- l-β的大小。
求证明：mn⊥ab
求异面直线pa与mn所成角的大小。
解析：⑴ 用垂线法作二面角的平面角。
只要证明ab垂直于过mn的一个平面即可。
过点a作mn的平行线，转化为平面角求解。
解： 连pd
∵pa⊥α，ad⊥l
∴pd⊥l∴∠pda为二面角α- l-β的平面角。
在rtδpad中。
∵pa=pd
∴∠pda=45°
∴二面角α- l-β为45°
设e是dc的中点，连me、ne
m、n、e分别为ab、pc、d的中点。
me∥ad，ne∥pd
me⊥l，ne⊥l
l⊥平面men
ab∥lab⊥平面men
mn平面mne
mnab 设q是dp听中点，连nq、aq
则nq∥dc，且nq=1/2dc
∵am∥dc，且am=1/2ab=1/2dc
∴qn∥am，qn=am
∴qnmq为平行四边形。
∴aq∥mn
∴∠paq为pa与mn所成的角。
∵δpaq为等腰直角三角形，aq为斜边上的中线。
∴∠paq=45°
即pa与mn所成角的大小为45°
132. 如图： △abc的abc= 90, v是平面abc外的一点， va = vb = vc = ac, 求vb与平面abc所成的角。
解析：1、要求vb与平面abc所成的角， 应作出它们所成的角。
2、要作出vb与平面abc所成的角， 只要找出vb在平面abc内的射影就可以了。
3、作斜线在平面内的射影， 只要在斜线上找一点作直线垂直于平面， 即找此点在平面内的射影， 显然找v点， v点在平面内的射影在何处？由条件可知， 射影为△abc的外心。
解： 作vo平面abc于o, 则ob为vb在平面abc内的射影，∴vbo为vb与平面abc所成的角。
连oa、ob、oc, 则oa、ob、oc分别为斜线段va、vb、vc在平面abc内的射影。
∵va = vb = vc
∴oa = ob = oc
∴o为△abc为外心。
∵△abc为直角三角形， 且ac为斜边。
∴o为ac的中点。
设va = a, 则va = vc = ac = a,
在rt△vob中，
∴vbo = 60
∴vb与平面abc所成的角为60。
133. 已知：平面α∩平面β=直线a．，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(ⅰa⊥γ；
ⅱ)b⊥γ．
证明：证法一(ⅰ)设α∩γab，β∩ac．在γ内任取一点p并于γ内作直线pm⊥ab，pn⊥ac． —1分。
γ⊥pm⊥α．
而 aα， pm⊥a．
同理pn⊥a4分。
又 pmγ，pnγ， a6分。
ⅱ)于a上任取点q，过b与q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2． —7分。
b∥α，b∥a1．
同理b∥a2． —8分。
a1，a2同过q且平行于b， a1，a2重合．
又 a1α，a2β， a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a10分。
b∥a1，∴ b∥a．
而a⊥γ，b⊥γ．12分。
注：在第ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(ⅰ)在a上任取一点p，过p作直线a1分。
α⊥p∈α，a′α．
同理a3分。
可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a5分。
又 a′⊥γa6分。
ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d． —7分。
b∥α，b∥β．
b∥c，b∥d． —8分。
又 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．
于是c∥β．9分。
c∥β，cα，αa， c∥a． —10分。
b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，b∥a． —11分。
而 a⊥γ，b⊥γ．12分。
注：在第ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
134. 设s为平面外的一点，sa=sb=sc，，若，求证：平面asc平面abc。
解析：（1）把角的关系转化为边的关系。
2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）
证明：设d为ab的中点。同理。且。
即为且s在平面上的射影o为的外心。
则o在斜边ac的中点。
平面abc平面sac
平面asc平面abc
135.已知如图，p平面abc，pa=pb=pc，∠apb=∠apc=60°，∠bpc=90 °求证：平面abc⊥平面pbc
解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然bc中点d，证明ad垂直平pbc即可。
证明： 取bc中点d 连结ad、pd
pa=pb；∠apb=60°
pab为正三角形
同理δpac为正三角形。
设pa=a在rtδbpc中，pb=pc=a
bc=apd=a
在δabc中。ad==a
ad2+pd2=
=a2=ap2
δapd为直角三角形。
即ad⊥dp
又∵ad⊥bc
ad⊥平面pbc
平面abc⊥平面pbc
136. 如图，正方形abcd所在平面与正方形abef所在平面。
成60°的二面角，则异面直线ad与bf所成角的余弦值。是。解析：
137. 如图，m、n、p分别是正方体abcd－a1b1c1d1的三个侧面abcd、cc1d1d、bcc1b1的中心，则a1m与np所成的角是( )
解析：d如图所示
138. 相交成90°的两条直线和一个平面所成的角分别是30°和45°，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是（ ）
解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为θ，则．
139. 在三棱锥p-abc中， apb=bpc=cpa=600，求二面角a-pb-c的余弦值。
解析：在二面角的棱pb上任取一点q，在半平面pba和半平面pbc上作qmpb，qnpb，则由定义可知mqn即为二面角的平面角。
设pm=a,则在rtpqm和rtpqn中可求得qm=qn=a；
又由pqnpqm得pn=a,故在正pmn中mn=a,在mqn中由余弦定理得cosmqn=，即二面角的余弦值为。
140. 三棱柱abc-a1b1c1中， bac=900，ab=bb1=1，直线b1c与平面abc成300角，求二面角b-b1c-a的正弦值。
解析：可以知道，平面abc与平面bcc1b1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。
解：由直三棱柱性质得平面abc平面bcc1b1，过a作an平面bcc1b1，垂足为n，则an平面bcc1b1，（an即为我们要找的垂线）在平面bcb1内过n作nq棱b1c，垂足为q，连qa，则nqa即为二面角的平面角。
ab1在平面abc内的射影为ab，caab，∴cab1a，ab=bb1=1，得ab1=。∵直线b1c与平面abc成300角，∴ b1cb=300，b1c=2，rt△b1ac中，由勾股定理得ac=，∴aq=1。在rt△bac中，ab=1，ac=，得an=。
sinaqn==。即二面角b-b1c-a的正弦值为。
141. 已知菱形abcd边长为a，且其一条对角线bd＝a，沿对角线bd将折起所在平面成直二面角，点e、f分别是bc、cd的中点。
(1)求ac与平面aef所成的角的余弦值。
(2)求二面角a－ef－b的正切值。
(1) 解析：：菱形abcd的对角线，
中位线ef//bd，可知面aoc，，故面，这样ac在面aef内的射影就是ag，就是ac与平面aef的成角，解三角形aoc可得。
(2)分析：由前一小问的分析可知，
就是二面角a－ef－b的平面角，在中，，，
142. 如图，abcd-a1b1c1d1是正方体，e是cc1的中点，求二面角b-b1e-d的余弦值。
解析：图中二面角的二个半平面分别为△deb1所在的半平面和△beb1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱b1e。不难找到dc即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。
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