1．（2014广东13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点。
1）证明：2）求二面角的余弦值。
1.（１平面，又，平面，又，平面，即；
２）设，则中，，又，，由（１）知，又，，同理，如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由（１）知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，即所求．
2．（2013广东14分）
如图1,在等腰直角三角形中， ,分别是上的点， ,为的中点。将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中。
ⅰ) 证明：平面；
ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值。
2.【解析】(ⅰ在图1中，易得。
连结，在中，由余弦定理可得。
由翻折不变性可知，所以，所以，理可证， 又，所以平面。
ⅱ) 传统法：过作交的延长线于，连结，因为平面，所以，所以为二面角的平面角。
结合图1可知，为中点，故，从而。
所以，所以二面角的平面角的余弦值为。
向量法：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则， ,所以，设为平面的法向量，则。
即，解得，令，得。
由(ⅰ)知，为平面的一个法向量，所以，即二面角的平面角的余弦值为。
3.（2012广东13分）
如图5所示，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，点 e**段pc上，pc⊥平面bde。
1）证明：bd⊥平面pac；
2）若pa=1，ad=2，求二面角b-pc-a的正切值。
3.解：（1）∵pa⊥平面abcd ，平面abcd
bd⊥papc⊥平面bde，平面bde
bd⊥pcpa∩pc=p
bd⊥平面pac；
(2)设ac∩bd=o，连结oe
pc⊥平面bde。
∠beo为二面角b-pc-a的平面角 ∵bd⊥平面pac，ac平面pac
ac⊥bd，∴abcd为正方形 ∵ad=2，∴ao=bo=oc=，ac=
在rt△pac中。
pc⊥平面bde，oe平面bde ∴pc⊥oe，∴△pac∽△oec
在rt△boe中tan∠beo 即二面角b-pc-a的正切值为3。
4.(2011广东13分)
如图5.在椎体p-abcd中，abcd是边长为1的棱形，且∠dab=60，,pb=2,
e,f分别是bc,pc的中点。
(1) 证明：ad 平面def;
(2) 求二面角p-ad-b的余弦值。
4.解：(1) 取ad的中点g，又pa=pd，由题意知δabc是等边三角形，又pg, bg是平面pgb的两条相交直线，2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；
在中，.5.(2010广东14分)
如图5，弧aec是半径为的半圆，为直径，点为弧
ac的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足==，fe=.
1）证明：；
(2)已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成的两面角的正弦值。
2）设平面与平面rqd的交线为。
由bq=fe,fr=fb知，.
而平面，∴平面，
而平面平面=，.
由（1）知， 平面，∴ 平面，而平面，平面，，∴是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，．
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