1．（本小题满分14分）（惠州市09届第三次调研数学试题）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角的正切值；
（3）求点到平面的距离．
1.(本小题满分14分)
1）设正三棱柱的侧棱长为。 取中点，连结。
△是正三角形2分。
又底面侧面，且交线为，侧面。 连结，则直线与侧面所成的角为。
在中，，解得。 …4分。
2）过作于，连结，∵侧面，∴.
为二面角的平面角。在中6分。
又，∴,又8分。
在中，.故二面角的正切值为39分。
3） 由（2）可知，平面，∴平面平面，且交线为，过作于，则平面。
在中， …12分。
为中点，∴点到平面的距离为。 …14分。
注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）2.(本题满分14分)
如图，在等腰梯形中， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．ⅰ)求证：⊥平面；
ⅱ) 若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值．(ⅲ)试问：在侧棱上是否存在一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比？若存在，请求的长；若不存在，请说明理由。
ⅰ)证明：依题意知，又∥
又∵平面⊥平面，平面平面，平面………4分。
ⅱ) 如图，把四棱锥补成一个长方体，其中分别为。
所在棱的中点，则易得∥，∥所以就。
是异面直线和所成的角………6分。
连结，在中，
在中， 在中，由余弦定理可得：
………8分。
所以异面直线和所成的角的余弦值为．……9分。
ⅲ) 解：假设在侧棱上存在一点，满足条件。
………11分。
又由知平面，又。
设到平面的距离为，则。
………12分。
又，故………14分。
另解：ⅰ)由知平面，如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为故．设。
是平面的一个法向量，由可得。
由可得， ，
又因为是平面的一个法向量，所以平面⊥平面………4分。
(ⅱ)由(ⅰ)知的中点的坐标为故又。
所以异面直线和所成的角的余弦值为．……14分。
3．(本小题满分14分)
已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点。
1) 求四棱锥的体积；
2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；
3) 若点为的中点，求二面角的大小。
3. (本小题满分14分)
解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且2分，即四棱锥的体积为4分。
2) 不论点在何位置，都有5分。
证明如下：连结，∵是正方形6分。
底面，且平面7分。
又∵，∴平面8分。
不论点在何位置，都有平面。
不论点在何位置，都有9分。
3) 解法1：在平面内过点作于，连结。，rt△≌rt△，从而△≌△为二面角的平面角12分。
在rt△中，又，在△中，由余弦定理得。
13分，即二面角的大小为14分。
解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角。
坐标系。 则，从而，. 10分。
设平面和平面的法向量分别为，由，取11分。
由，取。 …12分。
设二面角的平面角为，则13分。
∴，即二面角的大小为。
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