“动态”立体几何题。
本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。
一、 截面问题。
截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。
例1、用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ d ）
a 六边形 b 菱形 c 梯形 d 直角三角形。
例2、已知正三棱柱a1b1c1—abc的底面积为s,高为h,过c点作三棱柱的与底面abc成α角的截面△mnc,(0<),使mn//ab，求截面的面积。
分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线mn可能在侧面a1b上，也可能在a1b1c1上，由此得到两种不同的结果。
解：当交线mn在侧面a1b内（或与a1b1重合时），s△mnc=；当mn在底面a1b1c1内时，arctan s△mnc=。
二、 翻折、展开问题。
图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。
例3、下图表示一个正方体的展开图，图中ab、cd、ef、gh这四条直线在原正方体中相互异面的有（ b ）
a 2对 b 3对 c 4对 d 5对。
例4、从三棱锥p—abc的顶点沿着三条侧棱pa、pb、pc剪开，成平面图形，得到△p1p2p3，且p1p2=p2p3；
1）在棱锥p-abc中，求证：pa⊥bc，（2）p1p2=26，p1p3=20，求三棱锥的体积。
分析：（1）由展开的过程可知，a、b、c分别是边p1p3、p1p2、p2p3的中点，故ab=p2p3， ac =p1p2，∴ab=ac。又p1p2=p2p3，∴在原图中取bc中点h，连ah、ph，可证ah⊥bc，ph⊥bc，∴bc⊥面pah，即得pa⊥bc。
2）由（1）知bc⊥面pah，，在立体图中可知，pb=pc=ab=ac=13,bc=10,ph=ha=12, s△pah=5,∴v=s△pah·bc=.
三、 最值问题。
立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。
例5、（2023年全国高考）如图，正方形abcd、abef的边长都是1，而且平面abcd、abef互相垂直，点m在ac上移动，点n在bf上移动，若cm=bn=a，（0（ⅰ）求mn的长；
ⅱ）当a为何值时，mn的长最小；
分析：（1）mn的长随着m、n的移动而变化，若能建立适当的函数关系，转化成函数问题，便可利用函数知识求解。
略解：(1)过点m作mo⊥ab交ab于o，连on，由题可得bc=1，am=-a，ac=,∵mo//bc，∴，mo=,又，∴on//af，同理求得on=∴在rt△mno中，mn=。
2）由（1）得当a=时，mnmin=。
四、 探索型问题。
由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。
例8、已知矩形abcd，pa⊥平面ac于点a，m，n分别是ab、pc的中点，（1）求证mn⊥ab；（2）若平面pdc与平面abcd所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线mn是异面直线ab与pc的公垂线？若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由。
分析：（1）取cd中点h，可证ab垂直平面mnh，故ab⊥mn；
2）由题可得二面角θ即∠pda，随着θ的变化，mn与ab的垂直关系不变，但与pc所成的角将随着变化。设mn⊥pc，连pm、mc，∵n是中点，∴pm=mc ，又∵am=mb， ∠pam=∠cbm=900，∴△pam≌△cmb，∴pa=cb，即pa=ad，此时θ=450。可见只要当θ=450时，mn即为异面直线ab与pc的公垂线。
例9、如图，△abc是正三角形，ad和ce都⊥平面abc，且ad=ab=1，ce=1/2，问：能否**段bd上找到一点f，使af⊥平面bde？
分析：由于点f的移动，使af与平面bde的位置关系随之变化，若af⊥平面bde，则af⊥bd，又∵da=ab，∴f为bd中点，这使我们想到bd的中点即为所求。
解：取bd中点f，ab中点g，连ef、cg、fg，则四边形efgc为矩形，∴cgfg，又△abc为正三角形，∴cg⊥ab，∴cg⊥面abd，cg⊥af，∴ef⊥af，∴af⊥面bde成立。
五、 其它类型。
利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的性质等在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量，从而达到解题的目的。
例10、在三棱柱abc—a1b1c1中，aa1=ab=ac，ab⊥ac，m是cc1的中点，q是bc的中点，点p在a1b1上，则直线pq与直线am所成的角等于（ d ）
a 300 b 450 c 600 d 900
分析：虽然点p的具体位置不定，但pq在平面a1c上的射影是一条定直线a1h，在正方形acc1a1中am⊥a1h，故由三垂线定理得bq⊥am。
例11、正方体abcd—a1b1c1d1中，点p在侧面bcc1b1及其边界运动，并且总保持ap⊥bd1，则动点p的轨迹是。
分析：点p是在正方体的右侧面这样的一个区域中运动，这使两条线段bd1与ap的位置关系比较复杂，但bd1是正方体的体对角线，它在各个侧面上的射影与这个侧面的另一条对角线互相垂直，故由三垂线定理可证得bd1⊥平面ab1c，因此当点p**段b1c上运动时，由线面垂直的性质得bd1⊥ap恒成立，即线段p的轨迹是线段b1c。
例12、在棱长为1的正方体abcd—abcd中，若g、e分别是bb1、c1d1的中点，点f是正方形add1a1的中心。则四边形bgef在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是。
分析：可得四边形bgef在前后侧面上的射影相等且等于；在左右侧面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等且等于，所以射影图形面积的最大值为。
八年级数学竞赛辅导之正方形。
1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和8，图中阴影部分的面积为。
第1题图第2题图第3题图第4题图。
2．如图，16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为。
3．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间坚排若干个，则k的值为a）6 （b）8 （c）10 （d）12
4．如图，正方形abcd的边长为1，点m、n分别为bc、cd上的动点，且满足△cmn的周长为2，则∠man＝__度。
5．如图，将边长为8cm的正方形abcd折叠，使点d落在bc边的中点e处，点a落在f处，折痕为mn，则线段cn的长是（ ）a．3cm b．4cm c．5cm d．6cm
第5题图第6题图第7题图第8题图。
6．如图所示，正方形abcd的面积为12，△abe是等边三角形，点在正方形abcd内，在对角线ac上有一点p，使pd+pe的和最小，则这个最小值为（ ）
a． b． c．3 d．
7．如图，e是边长为1的正方形abcd的对角线bd上一点，且be=bc，p为ce上任意一点，pq⊥bc于点q，pr⊥be于点r，则pq+pr的值为( )
a． b． c． d．
8．如图，在四边形abcd中，ab=bc，∠abc=∠cda=90°，be⊥ad于e，sabcd=8，则be的长为( )
a．2 b．3 c． d．
9．如图，已知e、f分别是正方形abcd的边bc、cd上的点，ae、af分别与对角线bd相交于m、n，若∠eaf=50°，则∠cme+∠cnf= ．
第9题图第10题图第11题图第12题图。
10．如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac=3，以ab为一边向三角形外作正方形abef，正方形的中心为o，oc=，则bc边的长为 ．
11．如图，a**段bg上，abcd和defg都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则 △cde的面积等于 cm2．
12．如图，将边长为12cm的正方形abcd折叠，使得a点落在边cd上的e点，然后压平得折痕fg，若gf的长为13cm，则线段ce的长为 ．
13．如图，正方形abcd中，p、q分别是bc、cd上的点，若∠paq=45°，∠bap=20°，则∠aqp=(
a．65° b． 60° c ．35° d．70°
第13题图第14题图第15题图第16题图。
14．如图，abcd是边长为1的正方形，efgh是内接于abcd的正方形，ae=a，af=b，若sefgh=，则等于a． b． c． d．
15．如图，在正方形中，．若，则gf
16．若正方形abcd的边长为4，e为bc边上一点，be＝3，m为线段ae上一点，射线bm交正方形的一边于点f，且bf＝ae，则bm的长为。
17．如图 ，abcd是正方形．g是 bc 上的一点，de⊥ag于 e，bf⊥ag于 f．求证：．
3 立体几何
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立体几何题
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立体几何题
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