立体几何。
一。 平面及其基本性质。
一） 平面。
1. 平面：具有平的特征，无厚度，无边界，在空间中无限伸展。
2. 平面表示：一个大写英文字母或小写希腊字母，也可用平面上三个字母表示。
注：画图时，通常画平行四边形。
3. 组成几何图形的基本元素：点线面。
二）点与线的关系。
1.点**上 a∈l
2.点**外 al
注：线是由点组成的集合。
三）点与面的关系。
1.点在面内 a∈α
2.点在面外 aα
四）线与面的关系。
线在面内，mα
直线与一平面相交，m∩α=a
线在面外。直线与一平面平行，m∩α=或m∥α
五）平面的基本性质。
公理1：若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在这个平面内。
a∈αabα
b∈α公理2：若两个平面有一个公共点，则他们还有其他的公共点，这些点的集合是一条过这个公共点的直线，即p∈α，p∈β，l ＝＞p∈l
公理3：经过不在同一条直线上的点有且只有一个平面。
公理3的三个推论。
推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线。有且只有一个平面。
二。空间直线与直线的位置关系。
空间里两条直线的位置关系分为共面和异面两类。
其中两条直线共面又可以分为：平行与相交两种位置情况。
异面直线是指不能置于同一平面内的两条直线（常用反证法证明），通过异面直线所成的角（经过空间任意点作两条异面直线或其中一条的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角就是异面直线所成的角，异面直线所成角范围（0，]和异面直线间的距离（两条异面直线公垂线段的长度）来刻画两条直线的相对位置。
相关的公理和定理有：
1. 公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两直线平行。
2. 空间等角定理：
1） 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么两组相交直线所成的锐角（或直角）相等。
2） 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么两组相交直线所成的角相等或互补。当角的两边平行且方向相同（或相反）时，两角相等，当角的两边平行且方向相同，另一边方向相反时两脚互补。
一） 空间内两条直线的关系。
相交直线。共面直线平行直线。
直线与直线。
异面直线。二） 异面直线。
1. 定义：不同在任何一个平面内的两条线叫做异面直线。
注：1）.“不同在任何一个平面内”指这两条直线用不具备确定平面的条件。异面直线既不相交也不平行，即异面直线不具共面性。
2）.不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线。
2. 异面直线的判定定理。
过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点（面内的点）的直线是异面直线。
三） 异面直线所成的角。
1、定义：经过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所称的锐角 （或直角）叫做两异面直线所成的角或夹角。
注：这一个点往往选在其中一条线的某个特殊位置上。
2、如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。
3、异面直线所成角的范围 [0，]
4、（1）定角一般方法： 平移法补形法。
2）用余弦定理求异面直线所成角时，要注意范围。
①当cosθ＞0时，所成角为θ ＝a＞0， αarccosa
②当cosθ＜0时，所成角为π-θa＜0，α=arccos（-a）
当cosθ=0时，所成角为90°
3）求异面直线所成的角：a) 找角（常用方法：平移法、补形法）→求角。
b)利用空间向量：即求出两条直线的方向向量所成的直角或锐角。
4）如果两条异面直线所成的角是直角 ＝＞两条异面直线互相垂直。
与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条直线的公垂线。
5）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度叫做这两条异面直线的距离。任意两条异面直线都有唯一的公垂线段。
三．直线与平面的位置关系。
直线与平面的位置关系分为直线在平面内与直线在平面外两类。
直线与平面内即为公理1所述，直线在平面外又分为直线与平面平行与相交两种情况。
1） 直线与平面平行：
定义：如果平面外一条直线与这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
判定定理：如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行。
直线与平面的距离：设直线平行于平面，在直线上任取一点，该点在平面的距离（设m是平面外一点，过点m作平面的垂线，垂足为n，把点m到垂足n之间的距离叫做点到平面的距离）叫做直线到平面的距离。
2） 直线与平面相交，主要包括两点：直线与平面垂直，直线与平面所成角。
1 直线与平面垂直：
定义：如果一条直线与一个平面内的每一条直线垂直，那么就称这条直线与这个平面垂直。
判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行。
2 直线与平面所成角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 范围 [0,]
3 求法a) 找角→求角。找出斜线段、垂线段、射影组成的三角形并解之。
b)利用空间向量：即求出直线的方向向量与平面的法向量所成的直角或锐角。
注意：在证明线面垂直及求直线与平面所成角时，关注射影定理、三垂线定理以及其逆定理。
射影长定理：从平面外一点向平面引斜线段，相等的斜线段在平面内的射影长相等，较长的斜线段在平面**影也较长。
三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：平面内一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直。
空间最小角定理：直线与平面相交，该直线与平面所成角为该直线与平面内任一条直线所成角的最小角。
空间最小角定理2：如图，ao是平面π的斜线，ab ⊥平面π于b，od是π内不与ob重合的直线， ∠oca=900，∠ ocb=900，∠aob= ，bod= ，aod= ，求证：cos =cos cos
射影角平分线定理：经过一个角的顶点的直线与角的两边所成的角相等且等于。
四．平面与平面的位置关系。
1） 平面与平面平行：
定义：如果两个平面没有公共点，就称这两个平面平行。
判定定理：平面内两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么他们的交线平行。
平面和平面的距离：设平面α平行于平面，在平面α上任取一点，该点到平面β的距离叫做平面α和平面β的距离。
2） 平面与平面相交：关注两个重要的知识：二面角，这是刻画两个平面相交的相对位置的量；平面与平面垂直，这是两个平面相交的特殊情况。
1 二面角：
a)定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的空间图形叫做二面角，它的大小用二面角的平面角来表示。
二面角的平面角：以二面角的棱上一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围[0,π]
b)求法：i）定角→求角。把空间角转化为平面角，化归。
ii）利用空间向量：即求出两平面的法向向量所成的角，并结合图形来确定角具体类型。
2 平面与平面垂直：
定义：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角（90°），那么称这两个平面垂直。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的垂线垂直于另一个平面。
五、多面体的定义。
有若干个平面多边形围成的封闭体叫做多面体，高中阶段我们主要研究棱柱、棱锥等一些多面体。
1、棱柱的定义。
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，有这些面所围成的多面体叫做棱柱。
2、棱柱的性质。
1）侧棱都相等，侧面是平行四边形。
2）两个底面与平行于底面的的截面是全等的多边形。
3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
3、棱柱的分类。
1）按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱，……n棱柱。
2）按侧棱与底面的位置关系分类：
3）长方体中三个重要公式：长方体的三边长分别为a,b,c;体对角线为d; 体对角线为d与从其一个端点出发的三条侧棱所成的分别为；体对角线为d与从其一个端点出发的三个侧面所成的分别为则：
注意：平行六边形、长方体、正四棱柱、正方体等特殊四棱柱之间的关系。
4、祖恒原理。
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
5、棱锥的定义。
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射线是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
6、棱锥的性质。
1） 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么有：①棱锥和高被这个平面分成比例线段；②截面与底面都是相似多边形；③截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
2） 正棱锥的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影也组成一个直角三角形。③侧棱与底面所成的角相等，侧面与底面所成的二面角相等。
3） 在三棱锥中其顶点在底面的射影i)三条侧棱的长相等，射影是底面三角形的外心。
ii)三条斜高的长相等，射影是底面三角形的内心。
iii) 三条侧棱两两垂直，射影是底面三角形的垂心。
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