若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ a ）
a. 764 cm3或586 cm3b. 764 cm3
c. 586 cm3或564 cm3d. 586 cm3
解] 设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．
若，则，易知，，得一组解．
若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．
若，则，有唯一解，．
若，则，此时，．故，但，故，此时无解．
综上，共有两组解或。
体积为cm3或cm3．
5．方程组的有理数解的个数为b ）
a. 1b. 2c. 3d. 4
解] 若，则解得或。
若，则由得． ①
由得。将②代入得。
由①得，代入③化简得。
易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或。
在长方体中，棱，，点是线段上。
的一动点，则的最小值是。
解：如图， 将沿为轴旋转至与平面共面，得，则，故
等号当且仅当为与的交点时取得．
故答案填．
5. 已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于．
10． 在三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为。
答案：.解：设，根据余弦定理有，故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以。事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．
已知正方体的棱长为1，o为底面abcd的中心，m，n分别是棱a1d1和cc1的中点．则四面体的体积为．
如图，abcd-a1b1c1d1是正方体，p－a1b1c1d1是正四棱锥，且p到平面abc的距离为，则异面直线a1p与bc1的距离是（ b ）
a． b． c． d．
一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是。
解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．
因。故，从而．
记此时小球与面的切点为，连接，则。
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体。
的棱长为，过作于．
因，有，故小三角形的边长．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
又，，所以。
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．
4. 设四棱锥的底面不是平行四边形， 用平面去截此四棱锥， 使得截面四边形是平行四边形， 则这样的平面。
a. 不存在 b. 只有1个 c. 恰有4个 d. 有无数多个。
4．解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、, 直线、确定了一个平面。作与平行的平面， 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面有无数多个．故选 d．
如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余。
（ d ）a． b． c． d．
分析】大球的半径为，设小球的半径，则。
设小球切截面cde于f，则。
设，利用等积法求得，所以。
选d。如图是一个长方体abcd-a1b1c1d1截去几个角后的。
多面体的三视图，在这个多面体中，ab=4,bc=6,cc1=3.则这个多面体的体积为 48 .
分析】从三视图看，顶点已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为。
在长方体中， ,点、、分别是棱、与的中点， 那么四面体的体积是 =
解：在的延长线上取一点，使。 易证，，平面． 故．而，g到平面的距离为． 故填 ．
5．如图，在四面体abcd中，p、q分别为棱bc与cd上的点，且bp＝2pc，cq＝2qd．r为棱ad的中点，则点a、b到平面pqr的距离的比值为。
填．解：a、b到平面pqr的距离分别为三棱锥apqr与bpqr的以三角形pqr为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．
vapqr＝vapqd＝×vapcd＝××vabcd＝vabcd；
又，sbpq＝sbcd－sbdq－scpq＝(1－－×sbcd＝sbcd，vrbpq＝vrbcd＝×vabcd＝vabcd．
a、b到平面pqr的距离的比＝1∶4．
又，可以求出平面pqr与ab的交点来求此比值：
在面bcd内，延长pq、bd交于点m，则m为面pqr与棱bd的交点．
由menelaus定理知，··1，而＝，＝故＝4．
在面abd内，作射线mr交ab于点n，则n为面pqr与ab的交点．
由menelaus定理知，··1，而＝4，＝1，故＝．
a、b到平面pqr的距离的比＝1∶4．
设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，，且”的。
平面， 答：[
a. 不存在b. 有且只有一对
c. 有且只有两对d. 有无数对。
11. 已知正四棱锥v－abcd的棱长都等于a，侧棱vb，vd的中点分别为h和k，若过a、h、k三点的平面交侧棱vc于l，则四边形ahlk的面积为。
正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰。
三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、、、的大小关系是（ a ）
（a） （b）
c） （d）
正四面体abcd的棱长为1，e是△abc内一点，点e到边ab,bc,ca的距离之和为x，点e到平面dab,dbc,dca的距离之和为y，则等于（ ）
a 1 b c d
d 点e到边ab,bc,ca的距离之和就是△abc的高，即为，故，又，即，这里的h是正四面体的高，点e到平面dab,dbc,dca的距离，于是，所以，，于是。
9、如图2，在正方体中，p为棱ab上一点，过点p在空间作直线l，使l与平面abcd和平面ab均成角，则这样的直线l的条数为 (
a. 1 b .2 c. 3 d .4
有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[ ]
a.1 b. c. d.
解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此。
过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（ c ）
0条1条4条无数多条。
长方体中，已知，，则对角线的取值范围是。
过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为。
答选。过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。
把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .
答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；
所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体。
四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面，且＝,记，则＝(c)
已知是一个棱长为1的正方体，是底面的中心，是棱上的点，且，则四面体的体积为。
abcd.
解易知平面，设是底面的中心，则平面。
因为，所以，故。于是。
所以。 故选（c）.
已知单位正方体abcd—efgh棱ad与直线bc上分别有动点q、p。若△pqg与△bde相截得到的线段mn长度为y，设aq=x（0≤x≤1），则y的最小值写成关于x的函数关系式是。
解：当aq=x时，设gq与面bde交于。
点n，作nm⊥bd于点m，联结qm交直。
线bc于点，取点为点p，知此时。
y=|mn|最小。
建立如图1的空间直角坐标系，则q（0，x，1）且△bde所在平面上的点（x，y，z）满足x+y=z，故可令。
由点n在qg上，知在（0，1）内存在λ使qn=λqg。
代入消去λ得。
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