9) 数学精英解“立体几何”题。
1.（2024年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：
m＇⊥n＇m⊥nm⊥n m＇⊥n＇
m＇与n＇相交m与n相交或重合； ④m＇与n＇平行m与n平行或重合。
其中不正确的命题个数是。
a.1b.2c.3d.4
解析】d 以教室空间为长方体模型，m＇,n＇作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知。
m＇⊥n＇是m⊥n的不必要不充分条件。故①②为假命题。m＇,n＇相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题。
说明】 抽象的线线（面）关系具体化。就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型。必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.
2.（2024年北京卷第3题）平面α∥平面β的一个充分条件是。
a. 存在一条直线a,a∥α,a∥β
b. 存在一条直线a,aa∥β
c. 存在两条平行直线a,b,a,a∥β,b∥α
d. 存在两条异面直线a,b,a,a∥β,b∥α
解析】d 以考场的天花板和一个墙面作为α，β可以找出不同的直线a,b满足a、b、c项，从而排除前三项。
说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它，简捷明了。
3.（2024年湖南卷第8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
a． b． c． d．
解析】d 平面截球所得圆面的半径，
被球o截得的线段为圆面的直径故选d.
说明】 相关知识点：球的组合体。
(1)球与长方体的组合体：
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。
(2)球与正方体的组合体：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长， 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长， 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。
(3) 球与正四面体的组合体：
棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为。
4.(2024年全国ⅰ第7题)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
解析】d 连接cd1，则∠ad1c即是异面直线a1b与ad1所成的角，设ab=1，.
说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键。
5.（2024年浙江卷第6题）若是两条异面直线外的任意一点，则（ ）
．过点有且仅有一条直线与都平行。
．过点有且仅有一条直线与都垂直。
．过点有且仅有一条直线与都相交。
．过点有且仅有一条直线与都异面。
解析】b 对于选项a，若过点p有直线n与l，m都平行，则l∥m,这与l,m异面矛盾；对于b，过点p与l、m都垂直的直线即过p且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项c，过点p与l、m都相交的直线可能没有；对于d，过点p与l、m都异面的直线可能有无数条。
说明】 空间线线关系，找空间模型。
6.（2024年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
abcd．②④
解析】d 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同。
说明】 空间想象力的发挥。
7.(2024年江苏卷第4题) 已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：，；
其中正确命题的序号是（ ）
解析】c 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内。
8.(2024年全国卷ⅱ第7题)已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于。
abcd)
解析】a 欲求直线ab1与侧面acc1a1所成角，关键是要找到直线ab1在平面acc1a1内的射影，即要找到b1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，b1在这个平面内的射影是的中点d.
所以就是所求。由题设，可计算出所成角的正弦值为，故选a.
说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为b；若对。
直线和平面所成角的概念不清，易选错为c或d。
9.(2024年天津卷第6题) 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
．若与所成的角相等，则。
．若，，则。
．若，则。．若，，则。
解析】d a中，a、b可能平行、相交、异面；
b中，a、b可能平行、相交、异面；
c中a、b可以同时与α、β的交线平行；
d中a、b可以看作是α、β的法向量。
说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例。
10. (2024年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
．部分部分部分部分。
解析】c 以点代线，以线代面，可画示意图如下：
说明】 图直观，无须说理。
11. (2024年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（ ）
a．若m，，则b．若∩=m，∩=n，m∥n，则∥
c．若m，m∥，则d．若，，则。
解析】c a中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；b中，平面α与β也可能相交；c中，∵m∥，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′. 又∵m，∴m′. 由面面垂直的判定定理可知，；d中，平面β与γ也可能相交成或平行。
说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
12. (2024年福建卷第8题) 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
a． b．
c． d．
解析】d 对于a，当m、n为两条平行直线时，可知a错误。 对于b，m、n两条直线可能为异面直线，对于c，直线n可能在平面α内。
说明】 本题主要考查空间中线面位置关系。
13. (2024年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（ ）
abc． d．
解析】b 如下图所示，设球的半径为r，则有，连结ac，连结ac′、a′c交于点o，则o为外接球的心，在△aoc中，ao=oc=1，ac=，所以∠aoc=.
所以a、c两点间的球面距离为。
说明】 本题考查组合体的知识。
13（2024年全国卷ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为。
略解：记题中等腰直角三角形为abc，a为直角顶点，过a平行于底面的截面为α.
若b、c在α同侧（图1），易证∠abc为锐角，不合题意；
若b、c在α异侧（图2），过点b作平行于底面的截面bpq，依“等腰”易证cp=2aq. 取bc中点g，bp中点h，连ag、gh、hq，可证aghq为矩形，故bc=2ag=2hq=.
这个解法的关键是“猜”图，心算即可。 当然，图2中令aq = x，cp = 2x，利用勾股定理得求解也简单。
图1图2只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别。这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来b、c都在平面α的同一边。若果然如此，分类就没有必要了。
在下关于这题的解法是：
解析】延长mn、cb交于p，连ap.
第1，可证m为pn的中点。：作md∥bc，交cc1于d.显然：△amb≌△mnd.故dn=bm=cd，即bm=cn是△pnc的中位线，∴m为pn的中点。
第2，由am是pn的垂直平分线可以推出△apn是等腰直角三角形。
以下由△abp中ba=bp=2，abp=120°，得，从而边。
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