2023年高考数学最后压轴大题系列-解析几何。
1. 已知三点p（5，2）、（6，0）、（6，0）.
ⅰ）求以、为焦点且过点p的椭圆的标准方程；
ⅱ）设点p、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（i）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
∴，故所求椭圆的标准方程为+；
ii）点p（5，2）、（6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距， ∴故所求双曲线的标准方程为-。
2. 直线的右支交于不同的两点a、b.
ⅰ）求实数k的取值范围；
ⅱ）是否存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
解：（ⅰ将直线。
依题意，直线l与双曲线c的右支交于不同两点，故。
ⅱ）设a、b两点的坐标分别为、，则由①式得。
假设存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f（c,0）.
则由fa⊥fb得：整理得。
把②式及代入③式化简得。
3. 设双曲线c：相交于两个不同的点a、b.
i）求双曲线c的离心率e的取值范围：
ii）设直线l与y轴的交点为p，且求a的值。
解：（i）由c与t相交于两个不同的点，故知方程组。
有两个不同的实数解。消去y并整理得
1－a2）x2+2a2x－2a2=0
双曲线的离心率。
ii）设。由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，4. 已知为椭圆c的两焦点，p为c上任意一点，且向量的夹角余弦的最小值为。
(ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ)过的直线与椭圆c交于m、n两点，求（o为原点）的面积的最大值及相应的直线的方程。
解：(ⅰ设椭圆的长轴为2a, 又
即。椭圆方程为
ⅱ) 由题意可知nm不可能过原点，则可设直线nm的方程为： 设。
即 . 由韦达定理得：
令， 则。
又令， 易知在[1,+∞上是增函数，所以当，即时有最小值5.
有最大值 ∴的面积有最大值。
直线的方程为。
5. 椭圆e的中心在原点o，焦点在x轴上，离心率=，过点c(1，0)的直线交椭圆于a、b两点，且满足： =
ⅰ)若为常数，试用直线的斜率k(k≠0)表示三角形oab的面积．
ⅱ)若为常数，当三角形oab的面积取得最大值时，求椭圆e的方程．
ⅲ)若变化，且= k2＋1，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆e的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
解：设椭圆方程为(a＞b＞0)，由==及a2= b2c2得a2=3 b2，故椭圆方程为x2＋3y2= 3b2
ⅰ)∵直线：y = k(x＋1)交椭圆于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，并且= (2)，(x11，y1) =1x2，y2)，即。
把y = k(x1)代入椭圆方程，得(3k21)x26k2x3k23b2= 0，且 k2 (3b21)b2＞0
x1x2x1x2
=|y1y2| =1|·|y2| =k |·x21|．
联立②、③得x21=，=k≠0
当且仅当3| k | 即k =时，取得最大值，此时x1x2= 1．
又∵x11= (x21)，x1=，x2= ，代入④得3b2=．此时3b25，的值符合(*)
故此时椭圆的方程为x2＋3y2= (2
ⅲ)由②、③联立得：
x1=1，
x2=1，将x1，x2代入④，得=1．
由k2=1得=1
易知，当时，3b2是的减函数，故当时，取得最大值3． 所以，当，k =±1(符合(*)时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2 3y2 = 3
6. 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线。
（i）求椭圆的离心率；
（ii）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
解：（i）设椭圆方程为。
则直线ab的方程为。
化简得。令。
则 共线，得。
ii）证明：由（i）知，所以椭圆可化为。
在椭圆上，即 ①
由（i）知。
又又，代入①得
故为定值，定值为1.
7. 已知椭圆的左焦点为f，o为坐标原点。
i）求过点o、f，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
ii）设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，线段ab的垂直平分线与轴交于点g，求点g横坐标的取值范围。
解：（i）圆过点o、f，圆心m在直线上。
设则圆半径。
由得。解得。
所求圆的方程为。
（ii）设直线ab的方程为。
代入整理得。
直线ab过椭圆的左焦点f，方程有两个不等实根。
记中点。则。
的垂直平分线ng的方程为。
令得。点g横坐标的取值范围为。
8. 已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足。设圆的方程为。
) 证明线段是圆的直径；
)当圆c的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。
)证明1:
整理得： 设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点，则。
即。整理得：
故线段是圆的直径。
证明2: 整理得：
设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则。
即。去分母得：
点满足上方程，展开并将(1)代入得：
故线段是圆的直径。
证明3: 整理得： …1)
以线段ab为直径的圆的方程为。
展开并将(1)代入得： 故线段是圆的直径。
)解法1:设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为。
设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
当y=p时，d有最小值，由题设得 .
解法2: 设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为。
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为，则。
因为x-2y+2=0与无公共点，所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为。
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆c的圆心为c(x,y),则。
圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
又因 当时，d有最小值，由题设得。
9. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使。
1）求椭圆离心率的取值范围；
2）当离心率取最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为。
求此时椭圆的方程；
设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，为的中点，问两点能否关于过、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。
解：（1）设……①
将代入①得求得 ……4分。
2）①时，设椭圆方程为，是椭圆上任一点，则
ⅰ）若，则时， ，此时椭圆方程为7分。
ⅱ）若，则时， ∴矛盾。
综合得椭圆方程为9分。
由得 可求得，由求得，
代入解得 10、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线。
与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
12、已知椭圆的离心率。 直线（）与曲线交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为．
(1) 求椭圆的方程；
2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值。
13、 如图5，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点 ，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线
与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（n）．
(1) 求、及数列的通项公式；
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；
(3) 在满足(2)的条件下， 若数列的前项和为，求证： n.
14、已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．
求、的值；若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
15、已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．
求椭圆的方程；
当直线过点时，求直线的方程；
（本问只作参考，不计入总分）当时，求菱形面积的最大值．
答案：10、解：（ⅰ由题意可得圆的方程为，直线与圆相切，∴，即1分。
又，即，，得，，所以椭圆方程为3分。
ⅱ）设， ，则，即，
则4分。即， ∴为定值6分。
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