1.（2023年高考（天津理））已知函数的最小值为，其中。
ⅰ)求的值；
ⅱ)若对任意的，有成立，求实数的最小值；
ⅲ)证明。答案：【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力。
1)的定义域为。
得：时，2）设。
则在上恒成立（*）
当时，与（*）矛盾。
当时，符合（*）
得：实数的最小值为(lfxlby)
3）由（2）得：对任意的值恒成立。
取：当时， 得：（lb ylfx）
当时，得：点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有。
难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不。
重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行。
2．（2023年高考（新课标理））已知函数满足满足；
1)求的解析式及单调区间；
2)若，求的最大值。
答案：【解析】(1)
令得： 得：
在上单调递增
得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
2)得 当时，在上单调递增
时，与矛盾
当时， 得：当时，
令；则 当时，
当时，的最大值为。
3.（2023年高考（浙江理））已知a>0,br,函数。
ⅰ)证明：当0≤x≤1时，ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;
ⅱ) 2a-b|﹢a≥0;
ⅱ) 若﹣1≤≤1对x [0,1]恒成立，求a+b的取值范围。
答案：【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
当b≤0时， >0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为： =2a-b|﹢a;
当b>0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
|2a-b|﹢a;
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;
ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤2a-b|﹢a.
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ,令。
当b≤0时， <0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为： =2a-b|﹢a;
当b<0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
|2a-b|﹢a;
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.
即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。
ⅱ)由(ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大。
﹣1≤≤1对x [0,1]恒成立，
|2a-b|﹢a≤1.
取b为纵轴，a为横轴。
则可行域为：和，目标函数为z=a+b.
作图如下：
由图易得：当目标函数为z=a+b过p(1,2)时，有，.
所求a+b的取值范围为：.
4．（2023年高考（重庆理））(本小题满分13分，(ⅰ小问6分，(ⅱ小问7分。)
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴。
ⅰ) 求的值；
ⅱ) 求函数的极值。
答案：【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义，两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力。
解：(1)因，故
由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0,即，
从而，解得
2)由(1)知，
令，解得(因不在定义域内，舍去),
当时， ,故在上为减函数；
当时， ,故在上为增函数；
故在处取得极小值。
5．（2023年高考（陕西理））设函数。
1)设， ,证明：在区间内存在唯一的零点；
2)设，若对任意，有，求的取值范围；
3)在(1)的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
答案： (1),时， ,在内存在零点。
又当时， 在上是单调递增的，所以在内存在唯一零点。
2)当时，
对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：(ⅰ当，即时，
与题设矛盾
ⅱ)当，即时，
恒成立 ⅲ)当，即时，
恒成立。 综上可知，
注：(ⅱ也可合并证明如下：
用表示中的较大者。当，即时，
恒成立 3)证法一设是在内的唯一零点
于是有 又由(1)知在上是递增的，故，
所以，数列是递增数列。
证法二设是在内的唯一零点
则的零点在内，故，
所以，数列是递增数列。
6. （2023年高考（山东理））已知函数(为常数，是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行。
ⅰ)求的值；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ)设，其中为的导函数。证明：对任意。
答案：由f(x) =可得，而，即，解得
ⅱ) 令可得，
当时，;当时，.
于是在区间内为增函数；在内为减函数。
1)当时， ,
2)当时，要证。
只需证即可
设函数。 则，
则当时， 令解得，
当时；当时，
则当时，且，
则，于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立。
另证1:设函数，则，
则当时， 于是当时，要证，
只需证即可，
设， ,令解得，
当时；当时，
则当时， 于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立。
另证2:根据重要不等式当时，即，
于是不等式，
设， ,令解得，
当时；当时，
则当时， 于是可知当时成立。
7.（2023年高考（辽宁理））设，曲。
线与直线在(0,0)点相切。
ⅰ)求的值。
ⅱ)证明：当时，.
点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域，根据条件曲线与直线在(0,0)点。
相切，求出的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近。
几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于。
中档题。8．（2023年高考（江苏））若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数。
的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点。
1)求和的值；
2)设函数的导函数，求的极值点；
3)设，其中，求函数的零点个数。
答案】解：(1)由，得。
1和是函数的两个极值点， ,解得。
2)∵ 由(1)得， ,解得。
当时，;当时， ,
是的极值点。
当或时， ,不是的极值点。
的极值点是-2.
3)令，则。
先讨论关于的方程根的情况：
当时，由(2 )可知，的两个不同的根为i 和一2 ,注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2.
当时，∵,一2 , 1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
当时， ,于是是单调增函数，从而。
此时在无实根。
当时。,于是是单调增函数。
又∵, 的图象不间断，
在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理，在(一2 ,一i )内有唯一实根。
当时， ,于是是单调减两数。
又∵, 的图象不间断，
在(一1,1 )内有唯一实根。
因此，当时，有两个不同的根满足；当时
有三个不同的根，满足。
现考虑函数的零点：
i )当时，有两个根，满足。
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。
11 )当时，有三个不同的根，满足。
而有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
考点】函数的概念和性质，导数的应用。
解析】(1)求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
2)由(1)得， ,求出，令，求解讨论即可。
3)比较复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点。
9.（2023年高考（湖南理））已知函数=,其中a≠0.
1) 若对一切x∈r,≥1恒成立，求a的取值集合。
2)在函数的图像上取定两点，记直线ab的斜率为k,问：是否存在x0∈(x1,x2),使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析】(ⅰ若，则对一切，这与题设矛盾，又，
故。 而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
令则 当时，单调递增；当时，单调递减。
故当时，取最大值。因此，当且仅当即时，①式成立。
综上所述，的取值集合为。
ⅱ)由题意知，
令则 令，则。
当时，单调递减；当时，单调递增。
故当，即 从而，又
所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且。故当且仅当时，.
综上所述，存在使成立。且的取值范围为
点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法。第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈r,f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。
10. （2023年高考（湖北理））(已知函数，其中为有理数，且。 求的最小值；
ⅱ)试用(ⅰ)的结果证明如下命题：
设，为正有理数。 若，则；
ⅲ)请将(ⅱ)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：当为正有理数时，有求导公式。
考点分析：本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归。
纳推理能力有较高要求。
解析：(ⅰ令，解得。
当时，所以在内是减函数；
当时，所以在内是增函数。
故函数在处取得最小值。
ⅱ)由(ⅰ)知，当时，有，即 ①
若，中有一个为0,则成立；
若，均不为0,又，可得，于是
在①中令，可得，
即，亦即。
综上，对，为正有理数且，总有。 ②
ⅲ)(中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数。
若，则。用数学归纳法证明如下：
1)当时，有，③成立。
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高考导数大题 1.已知函数的最小值为，其中。求的值 若对任意的，有成立，求实数的最小值 证明。2 已知函数满足满足 1 求的解析式及单调区间 2 若，求的最大值。3.已知a 0,br,函数。证明 当0 x 1时，函数的最大值为 2a b a 2a b a 0 若 1 1对x 0,1 恒成立，求a b...
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