3．天津理20．（本小题满分分）已知函数，其中．
ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．
解】（ⅰ当时，，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：
1) 若，则．
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于。
即解得，又因为，所以．
2) 若，则．
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．
因此在区间上，恒成立，等价于即。
解得或，又因为，所以．
综合(1),(2), 的取值范围为。
8．湖南22．（本小题13分）设函数。
i)讨论的单调性；（ii）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解析：（i）的定义域为
令。1) 当故上单调递增．
2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
3) 当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
ii）由（i）知，．
因为，所以。
又由(i)知，．于是。
若存在，使得则．即．亦即。
再由（i）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得。
9．辽宁理21．（本小题满分12分）
已知函数．（i）讨论的单调性；
ii）设，证明：当时，；
iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
21．解：（i）
（i）若单调增加。
（ii）若且当。
所以单调增加，在单调减少。 …4分。
ii）设函数则。
当。故当8分。
iii）由（i）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为。
不妨设。由（ii）得从而。
由（i）知12分。
11．陕西理21．（本小题满分14分）
设函数定义在上，，导函数，．
1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；
3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
解】（1）∵，为常数），又∵，所以，即，；，令，即，解得，当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是．
2），设，则，当时，，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
3）满足条件的不存在．证明如下：
证法一假设存在，使对任意成立，即对任意有。
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立．
证法二假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，∴当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即，∴
这与假设矛盾．∴不存在，使对任意成立．
12．全国ⅰ理（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求、的值；
ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
21）解：（ⅰ由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。
ⅱ）由（ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
i)设，由知，当时，。而，故。
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（0，即f（x）>+
ii）设00,故 (x）>0,而。
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]
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