20．（本小题满分13分）解：
ii）由前知，y=f（x）的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则p,q分别在两个图像上，且。
不妨设。所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直。
21．（本小题满分14分）
解：（ⅰ依题意知，点是线段的中点，且⊥，是线段的垂直平分线． ∴故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．ⅱ）设，两切点为，由得，求导得．
两条切线方程为 ①
对于方程①，代入点得，，又，整理得：，同理对方程②有，即为方程的两根．
设直线的斜率为，所以直线的方程为，展开得：
代入③得：∴直线恒过定点．
ⅲ） 证明：由（ⅱ）的结论，设，， 且有， ，又∵，所以。
即直线的斜率倒数成等差数列．
17．解：⑴，椭圆方程为，设，则。
时； 时。
设动点，则。
当时，取最小值，且，∴ 且解得。
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