1． 已知点，一动圆过点且与圆内切．
1）求动圆圆心的轨迹的方程；
2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；
3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
2． 在直角坐标平面上有一点列，，…对每个正整数，点位于一次函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．
1）求点的坐标； （2）设二次函数的图像以为顶点，且过点，若过且斜率为的直线与只有一个公共点，求的值．
3）设，为正整数，，为正整数，等差数列中的任一项，且是中的最大数，，求的通项公式．
3.已知点a（－1，0)，b（1,0)，c（－,0)，d（,0)，动点p（x, y)满足·＝0，动点q（x, y)满足求动点p的轨迹方程c0和动点q的轨迹方程c1；
是否存在与曲线c0外切且与曲线c1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；
固定曲线c0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，**能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。
4.已知函数f (x)＝m x2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围；
令t＝－m＋2，求；其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1， [2.5]＝2， [2.5]＝－3)
对⑵中的t，求函数g(t)＝的值域。
5.已知焦点在x轴上的双曲线c的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知c的一个焦点与a关于直线y=x对称。 （1）求双曲线c的方程；
2）若q是双曲线c上的任一点，f1、f2为双曲线c的左、右两个焦点，从f1引∠f1qf2的平分线的垂线，垂足为n，试求点n的轨迹方程。
3）设直线y=mx+1与双曲线c的左支交于a、b两点，另一直线l经过m（－2，0）及ab的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。
6．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：
1）求的值，并证明对任意的，都有；
2）设当时，都有，证明在上是减函数；
3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。
7.直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为。（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求和的值； （2）求及的表达式；
3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总数为an，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为bn，试比较an与bn的大小．
8.已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。
求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；
2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：
过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；
研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。
9．若函数的定义域为，其中a、b为任意正实数，且a （1）当a=时，研究的单调性（不必证明）；
（2）写出的单调区间（不必证明），并求函数的最小值、最大值；
（3）若其中k是正整数，对一切正整数k不等式都有解，求m的取值范围。
10．我们把数列叫做数列的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），s（k，n）表示k方数列的前n项的和。
（1）比较s（1，2）·s（3，2）与[s（2，2）]2的大小；
（2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。
（3）对于常数数列an=1，具有关于s（k，n）的恒等式如：s（1，n）=s（2，n），s（2，n）=s（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于s（k，n）的恒等式，并给出证明过程。
11.记函数，,它们定义域的交集为，若对任意的，则称是集合的元素。
1）判断函数是否是的元素；
2）设函数，求的反函数，并判断是否是的元素；
3）若，写出的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）
12． 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
1）求抛物线的方程．
2）设直线与抛物线交于两点，且。
是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，得到和；按此方法继续下去．解决下列问题：
1).求证：；
2).计算的面积；
3).根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与。
线段所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
13.设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．（1）求的取值范围；
2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的。
两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．
14.我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．
1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；
2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…为实数，，求函数。
）的最小值或最大值．为了方便**，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值． 学生甲得出的结论是：，且无最大值． 学生乙得出的结论是：，且无最小值．
请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；
3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
15.设向量， (n为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足： ．
1) 求证：． 2).求的表达式．
3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）
16.、设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．
1）求的值． （2）把上述椭圆一般化为。
＞＞０其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０中相类似的结论，并证明你的结论．
3）分析（2）中的**结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
17.已知向量，向量与向量夹角为，且。 （1）求向量；
2）若向量与向量的夹角为，其中，为的内角，且，，依次成等差数列，试求求||的取值范围。
18. 如图，过椭圆的左焦点f任作一条与两坐标轴都不垂直的弦ab，若点m在x轴上，且使得mf为△amb的一条内角平分线，则称点m为该椭圆的“左特征点”．
(1)求椭圆的“左特征点”m的坐标；
(2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。
19．如图，已知圆c：，设m为圆c与x轴左半轴的交点，过m作圆c的弦mn，并使它的中点p恰好落在y轴上。
1）当r=2时， 求满足条件的p点的坐标；
2）当时，求n的轨迹g方程；
3）过点p（0，2）的直线l与（2）中轨迹g相交于两个不同的点m,n，若，求直线的斜率的取值范围。
20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
i）求f(0)及，的值，并归纳出的表达式（不必证明）；
ii）设直线，，轴及的图象围成的梯形的面积为（1，2……）记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。
2023年高考压轴题专题训练答案。
1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分．
解（1）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，由题意知，，于是，所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．
2）设，则。
令，，所以，当，即时在上是减函数，；
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；
当，即时，在上是增函数，．
所以， ．3）当时， ,于是， ,12分）
若正数满足条件，则，即，令，设，则，于是，所以，当，即时，即，．所以，存在最小值．
2．解（1）由已知，所以．
2）设二次函数，因为的图像过点，所以，解得。
的方程为，代入得，即①
由已知，方程①仅有一解，所以，（）
所以。3）由题意为正整数},为正整数}
所以中的元素组成以为首项，为公差的等差数列，所以，的公差为（）
若，则，；若，则，；
若，则，即．
综上所述，的通项公式为（为正整数）．
3、⑴c0：x2＋y2＝1， c1：＋＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：
已知c0：x2＋y2＝1和c1：＋＝1（a＞b＞0），试问，当a、 b满足什么条件时，对c1上任意一点q均存在以q为顶点，与c0外切，与c1内接的平行四边形。
解得a2＋b2＝a 2b2；
4、⑴m≤1，⑵t＝1时＝1，t＞1时＝0，⑶｛
5．解：（1）设双曲线c的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
该直线与圆相切，双曲线c的两条渐近线方程为 ……2分。
故设双曲线c的方程为，又∵双曲线c的一个焦点为，∴双曲线c的方程为 ……4分。
2）若q在双曲线的右支上，则延长qf2到t，使|qt|=|of1|
若q在双曲线的左支上，则在qf2上取一点t，使|qt|=|qf1|
根据双曲线的定义|tf2|=2，所以点t在以f2为圆心，2为半径的圆上，即点t的轨迹方程是 ① 8分。
由于点n是线段f1t的中点，设n（x，y），t（）
则。代入①并整理得点n的轨迹方程为……10分。
3）由。令。
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根。
因此又ab中点为。
2023年高考压轴题训练
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