数学压轴题集。
1. 已知函数，设。
1）求的单调区间；
2）若以）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
3）若对所有的都有成立，求实数的取值范围。
解：（1）.…2分。
因为由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减5分。
2）恒成立，……7分。
即当时取得最大值。所以，，所以。……10分。
3）因为，所以，令，则12分。
因为当时，，所以，所以，所以，所以16分。
2.已知数列中， ,为实常数）,前项和恒为正值，且当时，.
1）求证：数列是等比数列；
2）设与的等差中项为，比较与的大小；
3）设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：
当时，；当时，.
求数列的前项和为。
解：（1）当时， ,化简得，又由，得，解得，∴，也满足，而恒为正值，数列是等比数列分。
2）的首项为1，公比为，.当时， ,
当时， ,此时。…6分。
当时， ∵恒为正值 ∴且，若，则，若，则。综上可得，当时，；
当时，若，则，若，则分。
3）∵ 当时，.
若，则由题设得。
分。若，则。
综上得分。是定义在上且满足如下两个条件的函数组成的集合：
对任意的，都有；
存在常数l，使得对任意的，都有。
1）设，证明：；
2）设，如果存在，使得，那么，这样的是唯一的；
3）设，任取令。
证明：给定正整数，对任意的正整数，不等式成立。
证明：（1）对任意于是，……2分。
又，所以。对任意。
由于，所以，……4分。
令，则，所以。……7分。
2）反证法：设存在，使得，则由。
得，所以，与题设矛盾，故结论成立。 10分。
3）所以进一步可得，于是
16分。4．已知函数（）.
i)若的定义域和值域均是，求实数的值；
ii)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围。
解：(ⅰ在上是减函数，又定义域和值域均为，∴ 即， 解得 .
ii) ∵在区间上是减函数，∴，
又，且，，.
对任意的，，总有，，.
5．已知二次函数．
1）若，试判断函数零点个数；
2)若对且，，试证明，使。
成立；3)是否存在，使同时满足以下条件①对，且；②对，都有。
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）
当时，函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。……4分。
在内必有一个实根。即，使成立。
………10分。
3)假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且。
由②知对，都有。
令得………13分。
由得15分。
当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对，都有，满足条件②。∴存在，使同时满足条件16分。
6．已知数列中，，点在直线上．
ⅰ）计算的值；
ⅱ）令，求证：数列是等比数列；
ⅲ）设分别为数列的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（ⅰ由题意，……2分。
同理3分。（ⅱ）因为。
所以………5分。
………7分。
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列。 9分。
ⅲ）由（2）得，又。
所以………13分。
由题意，记。
则………15分。
故当………16分。
7．设函数（其中常数》0，且≠1）．
ⅰ）当时，解关于的方程（其中常数）；
ⅱ）若函数在上的最小值是一个与无关的常数，求实数的取值范围．
解 （ⅰf(x)＝
当x＜0时，f(x)＝＞3．因为m＞2．则当2＜m≤3时，方程f(x)＝m无解；
当m＞3，由10x＝，得x＝lg1分。
当x≥0时，10x≥1．由f(x)＝m得10x＋＝m，∴(10x)2－m10x＋2＝0．
因为m＞2，判别式＝m2－8＞0，解得10x3分。
因为m＞2，所以＞＞1．所以由10x＝，解得x＝lg．
令＝1，得m＝34分。
所以当m＞3时，＝＜1，当2＜m≤3时，＝＞1，解得x＝lg．……5分。
综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg和x＝lg；
当2＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg6分。
2) （若0＜a＜1，当x＜0时，0＜f(x)＝＜3；当0≤x≤2时，f(x)＝ax＋．…7分。
令t＝ax，则t∈[a2，1]，g(t)＝t＋在[a2，1]上单调递减，所以当t＝1，即x＝0时f(x)取得最小值为3．
当t＝a2时，f(x)取得最大值为．此时f(x)在(－∞2]上的值域是(0，]，没有最小值9分。
ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f(x)＝＞3；当0≤x≤2时f(x)＝ax＋．
令t＝ax，g(t)＝t＋，则t∈[1，a2]．
若a2≤，g(t)＝t＋在[1，a2]上单调递减，所以当t＝a2即x＝2时f(x)取最小值a2＋，最小值与a有关11分。
a2≥，g(t)＝t＋在[1，]上单调递减，在[，a2]上单调递增，……13分。
所以当t＝即x＝loga时f(x)取最小值2，最小值与a无关．……15分。
综上所述，当a≥时，f(x)在(－∞2]上的最小值与a无关16分。
8.设函数f（x）＝（其中常数a＞0，且a≠1）．
（1）当a＝10时，解关于x的方程f（x）＝m（其中常数m＞2）；
（2）若函数f（x）在（－∞2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．
解 （1）f（x2分。
当x＜0时，f（x）＝＞3．因为m＞2．
则当2＜m≤3时，方程f（x）＝m无解；
当m＞3，由10x＝，得x＝lg4分。
当x≥0时，10x≥1．由f（x）＝m得10x＋＝m，（10x）2－m10x＋2＝0．
因为m＞2，判别式＝m2－8＞0，解得10x＝．
因为m＞2，所以＞＞1．
所以由10x＝，解得x＝lg．
令＝1，得m＝3．
所以当m＞3时，＝＜1，当2＜m≤3时，＝＞1，解得x＝lg．
综上，当m＞3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg和x＝lg；
当2＜m≤3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg．……8分。
2） 法一：（ⅰ若0＜a＜1，当x＜0时，0＜f（x）＝＜3；
当0≤x≤2时，f（x）＝ax＋．
令t＝ax，则t∈[a2，1]，g（t）＝t＋在[a2，1]上单调递减，所以当t＝1，即x＝0时f（x）取得最小值为3．
当t＝a2时，f（x）取得最大值为．
此时f（x）在（－∞2]上的值域是（0，]，没有最小值．……11分。
ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f（x）＝＞3；
当0≤x≤2时f（x）＝ax＋．
令t＝ax，g（t）＝t＋，则t∈[1，a2]．
若a2≤，g（t）＝t＋在[1，a2]上单调递减，所以当t＝a2即x＝2时f（x）取最小值a2＋，最小值与a有关；……13分。
a2≥，g（t）＝t＋在[1，]上单调递减，在[，a2]上单调递增，所以当t＝即x＝loga时f（x）取最小值2，最小值与a无关．……15分。
综上所述，当a≥时，f（x）在（－∞2]上的最小值与a无关．……16分。
法二： 当时，a）时，，，所以，
b）时， ，所以9分。
ⅰ当即时，对，，所以在上递增，所以，综合a） b）有最小值为与a有关，不符合 ……11分。
ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，综合a） b）有最小值为与a无关，符合要求．……13分。
当时，a）时，，，所以。
b）时，所以，在上递减，所以，综合a） b）有最大值为与a有关，不符合15分。
综上所述，实数a的取值范围是16分。
9．设，，函数，1）设不等式的解集为c，当时，求实数取值范围；
2）若对任意，都有成立，试求时，的值域；
3）设 ，求的最小值．
解：（1），因为，二次函数图像开口向上，且恒成立，故图像始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标，当且仅当：
解得：（2）对任意都有，所以图像关于直线对称，所以，得．
所以为上减函数．
．故时，值域为．
（3）令，则。
i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
ii）当时，函数。
若，则函数在上的最小值为，且。
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为。
当时，函数的最小值为。
当时，函数的最小值为．
10．对于区间上有意义的两个函数与，如果对任意均有，则称与在上是接近的；否则，称与在上是非接近的．现有两个函数与且，与在给定区间上都有意义，1）求的取值范围；
2）问与在给定区间上是否为接近的？请说明理由．
解：（1）要使与有意义，则有。
要使与在给定区间上都有意义，等价于：
所以．2）与在给定区间上是接近的，对于任意恒成立．
设，且其对称轴在区间的左边，所以，当时，与在给定区间上是接近的；
当时，与在给定区间上是非接近的．
11.已知a>0，函数f（x）=ax－bx2.
i）当b>0时，若对任意x∈r都有f（x）≤1，证明a≤2；
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