（2012,1丰台文）20.函数的定义域为r，数列满足（且）．
ⅰ）若数列是等差数列，，且。
k为非零常数，且)，求k的值；
ⅱ）若，，，数列的前n项和为，对于给定的正整数，如果的值与n无关，求k的值．
2012,1西城文）20.已知数列。如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
ⅰ）写出数列的“衍生数列”；
ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；
ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，的首项取出，构成数列。证明：是等差数列。
2012,1石景山文）20.对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意。
都成立，我们称数列是 “类数列”．
ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？
若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；
ⅲ）若数列满足，，为常数．
求数列前项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．
2012,1朝阳文）20.数列，（）由下列条件确定：
当时，与满足：当时，,；
当时，，．ⅰ）若，，求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；
ⅱ）在数列中，若（，且），试用表示，；
ⅲ）在（ⅰ）的条件下，设数列满足：，，其中为给定的不小于2的整数），求证：当时，恒有．
2012,1东城文）20.已知是由满足下述条件的函数构成的集合：
对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．
试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根．
2012,1东城理）20.已知是由满足下述条件的函数构成的集合：
对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程。
有且只有一个实数根；
ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.
2012,4海淀文）20.对于集合m，定义函数，对于两个集合m，n，定义集合．已知a=，b=．
ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；
ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数．
ⅰ） 求证：当取得最小值时，；
ⅱ） 求的最小值．
2012,4西城文）20.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作．
继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；
若不能，说明理由；
ⅱ）设，．若，且的各项之和为．
ⅰ） 求，；
ⅱ） 若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．
2012,4西城理）20.对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作。继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？
若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；
ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．
2012,4东城文）20.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．
ⅰ）设函数，求集合和；
ⅱ）求证：；
ⅲ）设函数，且，求证：．
2012,4东城理）20.若对于正整数，表示的最大奇数因数，例如，．
设． ⅰ）求，的值；
ⅱ）求，，的值；
ⅲ）求数列的通项公式．
2012,4丰台文）20.设数列的前项和为，且．数列满足，．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
2012,4丰台理）20.已知函数，为函数的导函数．
ⅰ）若数列满足，且，求数列的通项公式；
ⅱ）若数列满足，．
ⅰ）是否存在实数b，使得数列是等差数列？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；
ⅱ）若，求证：．
2012,4朝阳文）20.已知各项均为非负整数的数列，满足，，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，．
ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；
ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
ⅲ）若经过有限次变换，可变为数列．设，求证，其中表示不超过的最大整数．
2012,4石景山文）20.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图象上，其中为正整数．
ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
ⅱ）设（ⅰ）中“平方递推数列”的前项之积，求数列的通项及关于的表达式；
ⅲ）记，求数列的前项和．
2012,4石景山理）20.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图象上，其中为正整数．
ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
ⅱ）设（ⅰ）中“平方递推数列”的前项之积为，求数列的通项及关于的表达式；
ⅲ）记，求数列的前项和，并求使的的最小值．
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