导数的概念及其运算。
一、选择题。
1．如果质点a按规律s＝2t3运动，则在t＝3 s时的瞬时加速度为( )
a．18 b．24 c．36 d．54
2．(2023年辽宁卷)设p为曲线c：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为( )
ab. cd.
3．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈n)，则f2009(x)＝(
a．sin xb．－sin x
c．cos xd．－cos x
4．(2023年江门模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
a. e2b．2e2c．e2d.
5．(2023年江西卷)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
a．－1或b．－1或。
c．－或d．－或7
二、填空题。
6．(2023年桂林模拟)半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看作(0，＋∞上的变量，请你写出类似于①的式子式可以用语言叙述为。
7．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0
8．(2023年福建卷)若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是___
三、解答题。
9．如右图所示，已知a为抛物线c：y＝2x2上的点，直线l1过点a，且。
与抛物线c相切，直线l2：x＝a交抛物线c于点b，交直线l1于点d.
1)求直线l1的方程；
2)求△abd的面积s1.
10．(2023年天津卷)已知函数f＝x＋＋b，其中a，b∈r.
1)若曲线y＝f在点p处的切线方程为。
y＝3x＋1，求函数f的解析式；
2)讨论函数f的单调性；
3)若对于任意的a∈，不等式f≤10在上恒成立，求b的取值范围．
参***。1．c
2．解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．依题设切点p的横坐标为x0，且y′＝2x0＋2＝tan α(为点p处切线的倾斜角)，又∵α∈0≤2x0＋2≤1，∴x0∈.
答案：a3．c
4．解析：y′＝(ex)′＝ex，曲线在点(2，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为y－e2＝e2(x－2)，则切线与坐标轴交点为a(1,0)，b(0，－e2)，所以：s△aob＝×1×e2＝.
答案：d5．解析：设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x (x－x0)
即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
答案：a6．解析：v球＝πr3，又(πr3)′＝4πr2，故②式可填(πr3)′＝4πr2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”
答案：(πr3)′＝4πr2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
8．解析：由题意可知f′(x)＝2ax2＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以2ax2＋＝0a＝－(x＞0)a∈(－0)．
答案：(－0)
9．解析：(1)由条件知点a为直线l1与抛物线c的切点，y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4，即直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)， 即4x＋y＋2＝0.
2)点a的坐标为(－1,2)，由条件可求得点b的坐标为(a,2a2)，点d的坐标为(a，－4a－2)，∴abd的面积s1为。
s1＝×|2a2－(－4a－2)|×1－a|
|(a＋1)3|＝－a＋1)3.
10．解析：(1)f′(x)＝1－，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8.
由切点p(2，f(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
2)f′(x)＝1－.
当a≤0时，显然f′(x)>0(x≠0)．这时f(x)在(－∞0)，(0，＋∞上是增函数．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在内是增函数，在(－，0)，(0，)内是减函数．
3)由(2)知，f(x)在上的最大值为f与f(1)的较大者，对于任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的a∈成立．
从而得b≤，所以满足条件的b的取值范围是。
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