2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页word）
第六章数列。
2023年高考题。
三、解答题。
22.（2009全国卷ⅰ理）在数列中，i）设，求数列的通项公式。
ii）求数列的前项和。
分析：（i）由已知有。
利用累差迭加即可求出数列的通项公式： (
ii）由（i）知，而，又是一个典型的错位相减法模型，易得 =
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置，考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用。
也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的。
与两数中至少有一个属于。
ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
ⅱ）证明：，且；
ⅲ）证明：当时，成等比数列。
解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分。
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。
ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质p.
由于都属于数集，∴该数集具有性质p.
ⅱ）∵具有性质p，∴与中至少有一个属于a，由于，∴，故。
从而，∴.故。
由a具有性质p可知。
又∵，从而，.
ⅲ）由（ⅱ）知，当时，有，即，∵，由a具有性质p可知。，得，且，∴，即是首项为1，公比为成等比数列。
24.（2009江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
1）求数列的通项公式及前项和；
2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。
1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，2) （方法一）=,设，
则=, 所以为8的约数。
方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以。
经检验，符合题意的正整数只有。
25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。
1）求和；2）求证：对任意正整数≥2，有。
解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查**能力。满分10分。
26.（2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上。
1）求r的值；
11）当b=2时，记。
证明：对任意的 ，不等式成立。
解：因为对任意的，点，均在函数且均为常数的图像上。所以得，当时，当时，又因为{}为等比数列，所以，公比为，2）当b=2时，,
则，所以 下面用数学归纳法证明不等式成立。
1 当时，左边=,右边=,因为，所以不等式成立。
2 假设当时不等式成立，即成立。则当时，左边=
所以当时，不等式也成立。
由①、②可得不等式恒成立。
命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知求的基本题型，并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题，以及放缩法证明不等式。
27.（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
1）求数列的通项公式；
2）证明：.
解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）
即，∴2）证明：∵
由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。
28（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足。
i）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
ii）若对一切都有，求的取值范围。
解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和**能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解：（i）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法，对任何，都是奇数。
ii）（方法一）由知，当且仅当或。
另一方面，若则；若，则。
根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。
方法二）由得于是或。
因为所以所有的均大于0，因此与同号。
根据数学归纳法，，与同号。
因此，对一切都有的充要条件是或。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有。
1）当时，求通项。
2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。
解：（1）由得。
将代入化简得。
所以。故数列为等比数列，从而。
即。可验证，满足题设条件。
2) 由题设的值仅与有关，记为则。
考察函数 ,则在定义域上有。
故对， 恒成立。
又 ,注意到，解上式得。
取，即有。30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。
ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
解（i）在中，令n=1，可得，即。
当时，又数列是首项和公差均为1的等差数列。
于是。ii)由（i）得，所以。
由①-②得。
于是确定的大小关系等价于比较的大小。
由。可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
2）假设时。
所以当时猜想也成立。
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有。
证法2：当时。
综上所述，当，当时。
31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
i）求数列与数列的通项公式；
ii）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
iii）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（i）当时。
又。数列是首项为，公比为的等比数列，3分。
ii）不存在正整数，使得成立。
证明：由（i）知。
当n为偶数时，设。
当n为奇数时，设。
对于一切的正整数n，都有。
不存在正整数，使得成立8分。
iii）由得。
又。当时，当时，32.（2009湖南卷文）对于数列，若存在常数m＞0,对任意的，恒有
则称数列为数列。
ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为b-数列？请说明理由；
ⅱ）设是数列的前n项和。给出下列两组判断：
a组：①数列是b-数列， ②数列不是b-数列；
b组：③数列是b-数列， ④数列不是b-数列。
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
ⅲ)若数列是b-数列，证明：数列也是b-数列。
解： （设满足题设的等比数列为，则。于是。
所以首项为1，公比为的等比数列是b-数列 .
ⅱ）命题1：若数列是b-数列，则数列是b-数列。此命题为假命题。
事实上设=1，，易知数列是b-数列，但=n，.
由n的任意性知，数列不是b-数列。
命题2：若数列是b-数列，则数列不是b-数列。此命题为真命题。
事实上，因为数列是b-数列，所以存在正数m，对任意的，有，即。于是。
所以数列是b-数列。
注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法。
(ⅲ)若数列是b-数列，则存在正数m，对任意的有。
因为。记，则有。
因此。故数列是b-数列。
33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
ⅱ)证明：。
证明（1）由。
由猜想：数列是递减数列。
下面用数学归纳法证明：
1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即。
易知，那么。
即。也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立。
2）当n=1时，，结论成立。
当时，易知。
34.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
i）求数列与数列的通项公式；
ii）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
iii）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
解（i）当时。
又。数列是首项为，公比为的等比数列，3分。
ii）不存在正整数，使得成立。
证明：由（i）知。
当n为偶数时，设。
当n为奇数时，设。
对于一切的正整数n，都有。
不存在正整数，使得成立8分。
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