一．压轴题专题训练。
1.问题：如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2， pb=， pc=1．求∠bpc度数的大小和等边三角形abc的边长．
李明同学的思路是：将△bpc绕点b逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接pp′，可得△p′pb是等边三角形，而△pp′a又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠ap′b=150°，而∠bpc=∠ap′b=150°．进而求出等边△abc的边长为．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，**并解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一点p，且pa=，bp=，pc=1．求∠bpc度数的大小和正方形abcd的边长．
2.阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别是a、b、c．过a作ad⊥bc于d（如图），则sinb=，sinc=，即ad=csinb，ad=bsinc，于是csinb=bsinc，即．同理有 ．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠a，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠b、∠c，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步，由条件b；
第二步，由条件c；
第三步，由条件c．
2）一货轮在c处测得灯塔a 在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达b处，此时又测得灯塔a在货轮的北偏西的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔a的距离ab（结果精确到0.1．参考数据：
sin=0.643，sin=0.906， sin=0.
904，sin=0.966）．
3.对于三个数a、b、c，m｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min表示a、b、c这三个数中最小的数，如：m，min＝－1；m＝，m＝
解决下列问题：
1)填空：min＝2，则x的取值范围是___
2)①若m＝min，那么x
根据①，你发现结论“若m＝min，那么填a，b，c大小关系)；
运用②，填空：若m＝min，则x＋y
3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)2，y＝2－x的图象(不需列表，描点)，通过图象，得出min最大值为。
4.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△abc中，cd是ab边上的中线，那么△acd和△bcd是“友好三角形”，并且s△acd=s△bcd．
应用：如图②，在矩形abcd中，ab=4，bc=6，点e在ad上，点f在bc上，ae=bf，af与be交于点o．
1）求证：△aob和△aoe是“友好三角形”；
2）连接od，若△aoe和△doe是“友好三角形”，求四边形cdof的面积．
**：在△abc中，∠a=30°，ab=4，点d**段ab上，连接cd，△acd和△bcd是“友好三角形”，将△acd沿cd所在直线翻折，得到△a′cd，若△a′cd与△abc重合部分的面积等于△abc面积的，请直接写出△abc的面积．
6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于a、b两点、与月y轴交于点c经过点b的直线与y轴交于点d，点p在抛物线的对称轴上，且p点的横坐标是1．
1)求该抛物线的解析式；
2)在第一象限的抛物线上有一个动点，过点作直线轴于点，交直线bd于点e，若点到直线bd的距离与bn的长度之比为，求点坐标；
3)如图2，若点位于轴上方，且，点是对称轴上的一个动点，将绕点顺时针旋转60°得到船 (的对应点为，的对应点为)，是否存在点，使的面积是，若存在，请求出的长：若不存在，说明理由．
全等三角形问题中常见的辅助线的作法。
三角形辅助线做法。
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
1.已知，如图△abc中，ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是。
2.以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt，连接de，m、n分别是bc、de的中点．**：am与de的位置关系及数量关系．（1）如图① 当为直角三角形时，am与de的位置关系是线段am与de的数量关系是。
2）将图①中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
3、如图，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求证：cd⊥ac
4、如图，ac∥bd，ea,eb分别平分∠cab,∠dba，cd过点e，求证；ab＝ac+bd
为等腰斜边ab的中点，dm⊥dn,dm,dn分别交bc,ca于点e,f。
1） 当绕点d转动时，求证de=df。
2） 若ab=2，求四边形decf的面积。
6.如图，等边△abc中，ad是∠bac的角平分线，e为ad上一点，以be为一边且在be下方作等边△bef，连接cf．
1）求证：ae=cf；
2）g为cf延长线上一点，连接bg．若bg=5，bc=8，求cg的长．
7如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，dg⊥bc于g,bh⊥dc于h，ch=dh，点e在ab上，点f在bc上，并且ef∥dc。
1)若ad=3，cg=2，求cd; (2)若cf=ad+bf，求证：ef=cd.
8.已知：如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ad＝bc，ab＝10，cd＝18，∠adc＝60°，过bc上一点e作直线eh，交cd于点f，交ad的延长线于点h，且ef＝fh．
1）求梯形abcd的面积；
2）求证：ad＝dh＋be．
9.如图，梯形abcd中，ad∥bc，点e在bc上，ae=be，且af⊥ab，连接ef．
1）若ef⊥af，af=4，ab=6，求 ae的长．
2）若点f是cd的中点，求证：ce=be﹣ad．
10．已知等腰△中，∠=点在上，连接，过作⊥，垂足为点，过点作⊥于点，点是的中点，连接、．
1）若∠=°1，求的长；
2）求证：∠=
11.阅读材料：
1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：
当时，一定有； 当时，一定有；
当时，一定有．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：， 与（）的符号相同。
当＞0时，＞0，得； 当=0时，=0，得。
当＜0时，＜0，得。
解决问题：1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张a4纸，7张b5纸；李明同学用了2张a4纸，8张b5纸．设每张a4纸的面积为x，每张b5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为w1，李明同学的用纸总面积为w2．回答下列问题：
w1用x、y的式子表示），w2用x、y的式子表示）
请你分析谁用的纸面积最大．
2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向a．b两镇供气，已知a、b到l的距离分别是3km、4km（即ac=3km，be=4km），ab=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，ap⊥l于点p，泵站修建在点p处，该方案中管道长度．
方案二：如图3所示，点a′与点a关于l对称，a′b与l相交于点p，泵站修建在点p 处，该方案中管道长度．
在方案一中，a1km（用含x的式子表示）；
2019重庆中考数学压轴题专题精练
1 如图1，在等边 abc中，点d是边ac的中点，点p是线段dc上的动点 点p与点c不重合 连结bp，将 abp绕点p按顺时针方向旋转 角 0 180 得到 a1b1p，连结aa1，射线aa1分别交射线pb 射线b1b于点e f 1 如图1，当0 60 时，在 角变化过程中，bef与 aep始终存在...
2019重庆中考压轴题25 1
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 bx a 0 直线y ax b以及双曲线 经过点a，其中直线与双曲线还交于另一点b，且直线与x轴，y轴分别相交于点c d，若点a的横坐标为1，该二次函数的对称轴是x 2，则下列说法不正确的是 a b 4a b a b k c 8a 4b k d a 2...
2019重庆中考压轴题25 7
1.如图所示，已知a y1 b 2，y2 为反比例函数y 图像上的两点，动点p x，0 在x正半轴上运动，当线段ap与线段bp之差达到最大时，点p的坐标是 a.0b.1,0c.0d 0 2.如图，平行四边形aobc中，对角线交于点e,双曲线y 0 经过a e两点，若平行四边形aobc的面积为18，则...