1、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于a（x1，0）、b（x2，0）两点，与y轴交于c点，对称轴与抛物线相交于点p，与直线bc相交于点m，连接pb．已知x1、x2恰是方程的两根，且sin∠obc＝.
1）求该抛物线的解析式；
2）抛物线上是否存在一点q，使△qmb与△pmb的面积相等，若存在，求点q的坐标；若不存在，说。
明理由；3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点r，使△rpm与△rmb的面积相等，若存在，直。
接写出点r的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由已知，可求：oa＝1，ob＝3，oc＝3.
设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（a－3）.
抛物线与y轴交于点c （0，3），∴3＝a×1×（－3），解得：a＝－1.
所以二次函数式为y=－x2＋2x＋3.
2）由y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，则顶点p（1，4）.共分两种情况：
由b、c两点坐标可知，直线bc解析式为y＝－x＋3.
设过点p与直线bc平行的直线为：y＝－x＋b，将点p（1，4）代入，得y＝－x＋5.
则直线bc代入抛物线解析式是否有解，有则存在点q，－x2＋2x＋3＝－x＋5，解得x＝1或x＝2.代入直线则得点（1，4）或（2，3）. 已知点p（1，4），所以点q（2，3）.
由对称轴及直线bc解析式可知m（1，2），pm＝2，设过p′（1，0）且与bc平行的直线为y＝－x＋c，将p′代入，得y＝－x＋1.
联立，解得或。
q（2，3）或q（，）或q（，）
3）由题意求得直线bc代入x＝1，则y＝2.
m（1，2）.由点m，p的坐标可知：点r存在，即过点m平行于x轴的直线，则代入y＝2，x2－2x－1＝0，解得x1＝1－（在对称轴的左侧，舍去），x2=，即点r（，2）．
2、已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点a（x1，0）、b（-1，0）且x1＞0，ao2+bo2=10，抛物线交y轴于点c，点d为抛物线的顶点．
1）求抛物线的解析式；
2）证明△adc是直角三角形；
3）第一象限内，在抛物线上是否存在一点e，使∠eco=∠acb？若存在，求出点e的坐标．
1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点a（x1，0）、b（-1，0）∴ao2+（-1）2=10，∴ao2=9，∴ao=±3，∴a（3，0）把a（3，0）、b（-1，0）代入y=ax2+bx+3得：抛物线的解析式：
y=-x2+2x+3；
2）证明：∵抛物线的解析式：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点d（1，4）由（1）得：
∴ac2=32+32=18，cd2=2，ad2=20，∴ad2=cd2+ac2，∴△adc是直角三角形．
3）解：过a作ag⊥ac交ce于g，过g作gh⊥x轴于h，∵∠eco=∠acb，∴∠eca=∠bco，∠cob=∠cag，∴rt△boc∽rt△gac，∴[
由oc=oa，gh⊥x轴，∴ah=gh，∴ah2+gh2=ag2得ah=gh=1，∴g点坐标为（4，1），将c（0，3），g（4，1）代入y=kx+c得：直线cg的解析式为：[,联立：
[,与y=-x2+2x+3， ∴e（，
3、（2012铜仁）如图，已知：直线交x轴于点a，交y轴于点b，抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c（1，0）三点。
1）求抛物线的解析式；
2）若点d的坐标为（-1，0），在直线上有一点p,使δabo与δadp相似，求出点p的坐标；
3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点e，使δade的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）：由题意得，a（3，0），b（0，3）
抛物线经过a、b、c三点，∴把a（3，0），b（0，3），c（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为
2）由题意可得：△abo为等腰三角形，如图所示，若△abo∽△ap1d，则∴dp1=ad=4 ,∴p1
若△abo∽△adp2 ，过点p2作p2 m⊥x轴于m，ad=4,
△abo为等腰三角形， ∴adp2是等腰三角形，由三线合一可得：dm=am=2= p2m，即点m与点c重合∴p2（1，2）
3）如图设点e ，则
当p1(-1,4)时，s四边形ap1ce=s三角形acp1+s三角形ace =
∴∵点e在x轴下方 ∴
代入得： ,即 ∵△4)2-4×7=-12<0∴此方程无解。
当p2（1，2）时，s四边形ap2ce=s三角形acp2+s三角形ace
点e在x轴下方 ∴ 代入得：即 ，∵4)2-4×5=-4<0
此方程无解。
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点e。
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