如图，已知抛物线y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2的顶点a在双曲线y＝上，直线y＝mx＋b经过点a，与y轴交于点b，与x轴交于点c．
1）求直线ab的解析式；
2）将直线ab绕点o顺时针旋转90°，与x轴交于点d，与y轴交与点e，求sin∠bde的值；
3）过点b作x轴的平行线与双曲线交于点f，点m在直线bf上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点n在直线bf上，直接写出使得∠amb＋∠anb＝45°的点n的坐标．
解：（1）∵y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2
( 3－m )(x 2－2x＋1 )＋4m－m 2－3＋m
( 3－m )(x－1 )2－m 2＋5m－3
a（1，－m 2＋5m－3） 1分。
点a在双曲线y＝上，∴1×( m 2＋5m－3 )＝3
解得m＝2或m＝3
二次项系数3－m≠0，∴m≠3
m＝2，a（1，3） 2分。
直线y＝mx＋b经过点a，∴2×1＋b＝3，∴b＝1 3分。
直线ab的解析式为y＝2x＋1 4分。
2）由y＝2x＋1，可得b（0，1），c（－，0）
将直线ab绕点o顺时针旋转90°，得点b的对应点为d（1，0），点c的对应点为e（0，）
可得直线de的解析式为y＝－x＋ 5分。
由得两直线交点为g（－，6分。
可得de⊥bc，bd＝，bg＝
sin∠bde＝＝＝8分。
3）n1（5，1），n2（－3，1） 10分。
解答过程如下（本人添加，仅供参考）
连接af，易得f（3，1），af＝2，∠afb＝45°
mf＝6＋1－3＝4，当点n在点f右侧时，则∠afb＝∠fan＋∠anf＝45°
∠amf＋∠anf＝45°，∴fan＝∠amf
又∠afn＝∠afm，∴△afn∽△mfa
＝，即＝，∴nf＝2
n1（5，1）
由抛物线的对称性可得，当点n在点f左侧时，n2（－3，1）
已知二次函数y＝－x 2－2 (－a－1)x－(－a 2－2a )的图象与x轴交于点a（x1，0）、b（x2，0），且x1＜1＜x2．
1）求a、b两点的坐标（用a表示）；
2）设二次函数图象的顶点为c，求△abc的面积；
3）若a是整数，p是线段ab上的一个动点（不与点a、b重合），在x轴上方作等边△apm和等边△bpn，记线段mn的中点为q，求二次函数的解析式及线段pq的长的取值范围．
解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点a（x1，0）、b（x2，0）
x1、x2是关于x的方程－x 2－2 (－a－1)x－(－a 2－2a )＝0的两个根。
解方程，得x＝－a或x＝－a＋2
x1＜1＜x2，－a＜－a＋2，∴x1＝－a，x2＝－a＋2
a（－a，0），b（－a＋2，0） 3分。
2）∵x1＝－a，x2＝－a＋2，∴ab＝－a＋2－(－a)＝2
又∵顶点c的纵坐标为＝
s△abc ＝×2×＝ 6分。
3）∵x1＜1＜x2，∴－a＜1＜－a＋2
－1＜a＜1
a是整数，∴a＝0
二次函数的解析式为y＝－x 2＋2 x 8分。
方法一：此时顶点c的坐标为c（1，）
作cd⊥ab于d，连接cq，则ad＝1，cd＝
tan∠bac＝＝，bac＝60°
由拋物线的对称性可知△abc是等边三角形。
由△apm和△bpn是等边三角形，线段mn的中点为q
可得点m、n分别在ac和bc边上，四边形pmcn为平行四边形，c、q、p三点在同一直线上，且pq＝pc
点p**段ab上运动的过程中不与a、b两点重合。
cd≤pc＜ac，即≤2pq＜2
≤pq＜1 10分。
方法二：设点p的坐标为p（x，0），作me⊥ab于e，nf⊥ab于f
△apm和△bpn是等边三角形，且都在x轴上方。
am＝ap＝x，bn＝bp＝2－x，∠map＝∠nbp＝60°
ae＝am·cos60°＝x，me＝am·sin60°＝x
bf＝bn·cos60°＝，nf＝bn·sin∠60°＝
af=ab－bf＝2－＝
m（x， x），n（，）
q（，）由勾股定理得pq＝＝
点p**段ab上运动的过程中不与a、b两点重合。
0＜x＜2，∴3≤( x－1)2＋3＜4
≤pq＜1 10分。
已知一次函数y＝2 x＋8 与反比例函数y＝的图象相交于a、b两点，点a的横坐标为x1，点b的横坐标为x2，且x1－x2＝2．
1）求k的值；
2）求△aob的面积；
3）若一条开口向下的抛物线经过a、b两点，并在过点a且与ob平行的直线上截得的线段长为，求抛物线的解析式．
解：（1）由得2x 2＋8x－k＝0
x1＋x2＝－4，x1x2＝－
由解得x1＝－1，x2＝－3
k＝－2 x1x2＝－6 3分。
2）由（1）知，反比例函数为y＝－
把x1＝－1，x2＝－3分别代入上式，得y1＝6，y2＝2
a（－1，6），b（－3，2）
设一次函数y＝2 x＋8 的图象与x轴交于点c，则c（－4，0）
s△aob ＝s△aoc － s△boc
×4×6－×4×2＝8 6分。
3）设过点a且与ob平行的直线与x轴交于点d，与抛物线交于点e
分别过a、b、e作x轴的垂线，垂足分别为aa1、bb1、ee1
b（－3，2），∴ob＝＝
ad∥bo，∴∠ada1＝∠bob1
sin∠bob1＝，cos∠bob1＝
ad∥bo，∴∠ada1＝∠bob1
sin∠ada1＝sin∠bob1＝，cos∠ada1＝cos∠bob1＝
ad＝＝3，a1d＝ad·cos∠ada1＝9
由题意，ae＝，∴ed＝2
e1d＝ed·cos∠ada1＝6，ee1＝ed·sin∠ada1＝4
oe1＝a1d－a1o－e1d＝9－1－6＝2
e（2，4） 8分。
设所求抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c，则：
解得：a＝－，b＝－，c＝
抛物线的解析式为y＝－x 2－x＋ 10分。
如图1，已知直线与抛物线交于点a（3，6）．
1）求直线的解析式和线段oa的长度；
2）点p为抛物线第一象限内的动点，过点p作直线pm，交x轴于点m（点m、o不重合），交直线oa于点q，再过点q作直线pm的垂线，交y轴于点n．试**：线段qm与线段qn的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
3）如图2，若点b为抛物线上对称轴右侧的点，点e**段oa上（与点o、a不重合），点d（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠bae=∠bed=∠aod．继续**：m在什么范围时，符合条件的e点的个数分别是1个、2个？
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为b（2，1），且过点a（0，2），直线与抛物线交于点d，e（点e在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线于点c，交x轴于点g，ef⊥x轴，垂足为点f，点p在抛物线上，且位于对称轴的右侧，pm⊥x轴，垂足为点m，△pcm为等边三角形．
1）求该抛物线的表达式；
2）求点p的坐标；
3）试判断ce与ef是否相等，并说明理由；
4）连接pe，在x轴上点m的右侧是否存在一点n，使△cmn与△cpe全等？若存在，试求出点n的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线经过点a、b、c，已知a（-1，0），c（0，3）．
1）求抛物线的解析式；
2）如图1，p为线段bc上一点，过点p作y轴平行线，交抛物线于点d，当△bdc的面积最大时，求点p的坐标；
3）如图2，抛物线顶点为e，ef⊥x轴于f点，m（m，0）是x轴上一动点，n是线段ef上一点，若∠mnc=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
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