2019重庆中考数学25题 4

1. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

1）若o是△abc的重心（如图1），连结ao并延长交bc于d，证明：；

2）若ad是△abc的一条中线（如图2），o是ad上一点，且满足，试判断o是△abc的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

3）若o是△abc的重心，过o的一条直线分别与ab、ac相交于g、h（均不与△abc的顶点重合）（如图3），s四边形bchg，s△agh分别表示四边形bchg和△agh的面积，试**的最大值．

2. 如图，在正方形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，点e是bc上的一个动点，连接de，交ac于点f．

1）如图①，当时，求的值；

2）如图②当de平分∠cdb时，求证：af=oa；

3）如图③，当点e是bc的中点时，过点f作fg⊥bc于点g，求证：cg=bg．

3. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点e、f分别在正方形abcd的边bc、cd上，∠eaf=45°，连接ef，则ef=be+df，试说明理由．

1）思路梳理。

ab=cd，把△abe绕点a逆时针旋转90°至△adg，可使ab与ad重合．

∠adc=∠b=90°，∠fdg=180°，点f、d、g共线．

根据 sas ，易证△afg≌ △aef ，得ef=be+df．

2）类比引申。

如图2，四边形abcd中，ab=ad，∠bad=90°点e、f分别在边bc、cd上，∠eaf=45°．若∠b、∠d都不是直角，则当∠b与∠d满足等量关系 ∠b+∠d=180° 时，仍有ef=be+df．

3）联想拓展。

如图3，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，点d、e均在边bc上，且∠dae=45°．猜想bd、de、ec应满足的等量关系，并写出推理过程．

4.（2014舟山）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

1）已知：如图1，四边形abcd是“等对角四边形”，∠a≠∠c，∠a=70°，∠b=80°．求∠c，∠d的度数．

2）在**“等对角四边形”性质时：

小红画了一个“等对角四边形”abcd（如图2），其中∠abc=∠adc，ab=ad，此时她发现cb=cd成立．请你证明此结论；

由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

3）已知：在“等对角四边形”abcd中，∠dab=60°，∠abc=90°，ab=5，ad=4．求对角线ac的长．

5. （2014兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

2）如图，将△abc绕顶点b按顺时针方向旋转60°得到△dbe，连接ad，dc，ce，已知∠dcb=30°．

求证：△bce是等边三角形；

求证：dc2+bc2=ac2，即四边形abcd是勾股四边形．

2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果∠gce＝45°，请你利用（1）的结论证明：ge＝be＋gd．

3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形abcd中，ad∥bc（bc＞ad），∠b＝90°，ab＝bc，e是ab上一点，且∠dce＝45°，be＝4，de=10, 求直角梯形abcd的面积．