1如图，△abc和△dec都是等腰直角三角形，c为它们的公共直角顶点，连ad，be，f为线段ad的中点，连cf，1）如图1，当d点在bc上时，be=2，求cf的长；
2）如图2，把△dec绕点c顺时针旋转角（0 ＜＜90 ），其他条件不变，求证：be=2cf，fc⊥be；
3）如图3，把△dec绕点c顺时针旋转45°，be、cd交于点o，若∠dcf=30°，直接写出的值．
解】1）∵△abc和△dec都是等腰直角三角形，bc=ac，cd=ce，∠acb=∠ecd=90°，∴bce≌△acd（sas），∴ad= be=2，f为线段ad的中点，∴cf=ad=，2）如图，延长cf到m，使fm=fc，连接am，dm，又af=df，∴四边形amdc为平行四边形，∴am=cd=ce，∠mac=180°﹣∠acd，bce=∠bca+∠dce﹣∠acd=180°﹣∠acd，即∠mac=∠bce，又∵ac=bc，∴△mac≌△ecb（sas），cm=be；∠acm=∠cbe，∴be=cm=2cf；
∠cbe+∠bcm=∠acm+∠bcm=90°，即be⊥cf；
3）设be、cf交于点p，过o作pm ⊥bc；在bc上取一点n，使bn=pn。
be⊥cf，∠dcf=30°，∴poc=60，∴∠pbc=∠poc-∠bco=15；∴∠pmc=30,设pm=1，则oc=，on=2，nm=，bn=2，=+8+4， =2，∴=4+2
2.如图p为等边△abc外一点，ah垂直平分pc于点h，∠bap的平分线交pc于点d
1) 求证：dp＝db (2) 求证：da＋db＝dc
3) 若等边△abc边长为，连接bh，当△bdh为等边三角形时，请直接写出cp的长度为___
证明：(1) ∵ah是pc的垂直平分线∴pa＝pc＝ab∵ad平分∠pab ∴∠pad＝∠bad
在△pad和△bad中∴△pad≌△bad（sas） ∴dp＝db
(2) 在cp上截取cq＝pd，连接aq ∵ap＝ac ∴∠apd＝∠acq
在△apd和△acq中 ∴△apd≌△acq（sas）∴ad＝aq，∠caq＝∠pad
∴∠bac＝∠caq＋∠baq＝∠pad＋∠baq＝∠bad＋∠baq＝∠daq＝60°
∴△adq为等边三角形 ∴ad＝dq ∴cd＝dq＋cq＝ad＋db
(3)（提示：设dp＝db＝dh＝x，则ch＝2x，cd＝3x，ad＝cd－db＝2x）
3.已知等腰rt△abc和等腰rt△edf，其中d、g分别为斜边ab、ef的中点，连ce，又m为bc中点，n为ce的中点，连mn、mg
1) 如图1，当de恰好过m点时，求证：∠nmg＝45°，且mg＝mn
2) 如图2，当等腰rt△edf绕d点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明。
3) 如图3，连bf，已知p为bf的中点，连cf与pn，直接写出＝__
证明：1）连dg，由对称性可知（中垂线上的点）d、c、g三点共线，rt△cme中，mn=ec，ng=ec，∠mng=2∠meg=90°，∴mng为等腰rt△，即证。
2）连dc、cf、be、ng，易证△dbe≌△dcf，be=cf，cf⊥be（垂直交叉“x” 型得），mnbe，ngcf，mn=ng，mn⊥ng，∴△mng为等腰rt△
3）取bc的中点m，连pm、mn、dc，同样证△dbe≌△dcf，易得△pmn为等腰rt△，pm=cf，4.（2015春海门市期末）如图①，已知点d**段ab上，在△abc和△ade中，ad=de，ab=bc，∠ead=∠aed=45°，∠bac=∠bca=45°，且m为ec的中点．
1）连接dm并延长交bc于n，写出线段cn与ad的数量关系。
2）写出直线bm与dm的位置关系。
3）将△ade绕点a逆时针旋转，使点e**段ca的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5.（2014春沙坪坝区校级期末）已知：△abc为等边三角形，为射线ac上一点，d为射线cb上一点，ad=de．
1）如图1，当点d为线段bc的中点，点在ac的延长线上时，求证：bd+ab=ae；
（2）如图2，当点d为线段bc上任意一点，点在ac的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
3）如图3，当点d**段cb的延长线上，点**段ac上时，请直接写出bd、ab、ae的数量关系．
6．在rt△abc中，∠acb=90°，tan∠bac=. 点d在边ac上（不与a，c重合），连结bd，f为bd中点。
1）若过点d作de⊥ab于e，连结cf、ef、ce，如图1． 设，则k
2）若将图1中的△ade绕点a旋转，使得d、e、b三点共线，点f仍为bd中点，如图2所示．求证：be-de=2cf；
3）若bc=6，点d在边ac的三等分点处，将线段ad绕点a旋转，点f始终为bd中点，求线段cf长度的最大值．
7.如图1，已知是等腰直角三角形，,点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系是。
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若，当取最大值时，求的值．
8．如图，已知△是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点分别在和上，连接．
1）试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．
2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360°），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
3）若，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值．
9．在△abc中，ab=4，bc=6，∠acb=30°，将△abc绕点b按逆时针方向旋转，得到△a1bc1．
1）如图1，当点c1**段ca的延长线上时，求∠cc1a1的度数；
2）如图2，连接aa1，cc1．若△cbc1的面积为3，求△aba1的面积；
3）如图3，点e为线段ab中点，点p是线段ac上的动点，在△abc绕点b按逆时针方向旋转的过程中，点p的对应点是点p1，直接写出线段ep1长度的最大值与最小值．
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