m 证明题。
1.如图，△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc，垂足是d，ae平分∠bad，交bc于点e．在△abc外有一点f，使fa⊥ae，fc⊥bc．
1）求证：be=cf；
2）在ab上取一点m，使bm=2de，连接mc，交ad于点n，连接me．
求证：①me⊥bc；②de=dn．
2.如图，在△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，e为ac边的中点，过点a作ad⊥ab交be的延长线于点d，cg平分∠acb交bd于点g，f为ab边上一点，连接cf，且∠acf＝∠cbg。
求证：（1）af＝cg；
2）cf＝2de
3.如图，在矩形abcd中，e、f分别是边ab、cd上的点，ae=cf，连接ef，bf，ef与对角线ac交于o点，且be=bf，∠bef=2∠bac。
1）求证：oe=of；
2）若bc=，求ab的长。
4.已知，如图，在abcd中，ae⊥bc，垂足为e，ce=cd，点f为ce的中点，点g为cd上的一点，连接df、eg、ag，∠1=∠2．
1）若cf=2，ae=3，求be的长；
2）求证：∠ceg=∠age．
5.如图1，在△abc中，acb=90°，bac=60°，点e角平分线上一点，过点e作ae的垂线，过点a作ab的线段，两垂线交于点d，连接db，点f是bd的中点，dh⊥ac，垂足为h，连接ef，hf。
1）如图1，若点h是ac的中点，ac=，求ab，bd的长。
2）如图1，求证：hf=ef。
3）如图2，连接cf，ce，猜想：△cef是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。
6.如图1，△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ad⊥bc于点d，点e在ac边上，连结be．
1）若af是△abe的中线，且af＝5，ae＝6，连结df，求df的长；
2）若af是△abe的高，延长af交bc于点g．
如图2，若点e是ac边的中点，连结eg，求证：ag＋eg＝be；
如图3，若点e是ac边上的动点，连结df．当点e在ac边上(不含端点)运动时，∠dfg的大小是否改变，如果不变，请求出∠dfg的度数；如果要变，请说明理由．
7.在△abc中，ab=ac，∠a=60°，点d是线段bc的中点，∠edf=120°，de与线段ab相交于点e，df与线段ac（或ac的延长线）相交于点f.
1）如图1，若df⊥ac，垂足为f，ab=4，求be的长；
2）如图2，将（1）中的∠edf绕点d顺时针旋转一定的角度，df扔与线段ac相交于点f.求证：；
3）如图3，将（2）中的∠edf继续绕点d顺时针旋转一定的角度，使df与线段ac的延长线交与点f，作dn⊥ac于点n，若dn=fn，求证：.
8.已知在四边形abcd中，，ab=bc.
1）如图1，若，ad=2，求cd的长度；
2） 如图2，点p、q分别**段ad、dc上，满足pq=ap+cq，求证：；
3）如图3，若点q运动到dc的延长线上，点p也运动到da的延长线上时，仍然满足pq=ap+cq，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出与的数量关系，并给出证明过程。
9.如图，在菱形abcd中，∠abc=60°，e是对角线ac上任意一点，f是线段bc延长线上一点，且cf=ae，连接be、ef．
1）如图1，当e是线段ac的中点，且ab=2时，求△abc的面积；
2）如图2，当点e不是线段ac的中点时，求证：be=ef；
3）如图3，当点e是线段ac延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
10.如图1，在菱形abcd中， abc=60°，若点e在ab的延长线上，ef∥ad，ef=be，点p是de的中点，连接fp并延长交ad于点g．
1）过d作dhab,垂足为h，若dh=，be=ab,求dg的长；
2）连接cp，求证：cpfp；
3）如图2，在菱形abcd中， abc=60°，若点e在cb的延长线上运动，点f在ab的延长线上运动，且be=bf，连接de,点p为de的中点，连接fp、cp，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．
11.如图1，中，于点，于点，连接。
1）若，，，求的周长；
2）如图2，若，，的角平分线交于点，求证：；
3）如图3，若，，将沿着翻折得到，连接、，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论。
12.如图，在等腰rt△abc中，为斜边ac的中点，连接bo，以ab为斜边向三角形内部作rt△abe,且∠aeb=90°，连接eo.
求证：（1）∠oae=∠obe; （2）ae=be+oe.
13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△abc中，ab=ac，点p为边bc上的任一点，过点p作pd⊥ab，pe⊥ac，垂足分别为d、e，过点c作cf⊥ab，垂足为f．
求证：pd+pe=cf．
小军的证明思路是：如图2，连接ap，由△abp与△acp面积之和等于△abc的面积可以证得：pd+pe=cf．
小俊的证明思路是：如图2，过点p作pg⊥cf，垂足为g，可以证得：pd=gf，pe=cg，则pd+pe=cf．
变式**】如图3，当点p在bc延长线上时，其余条件不变，求证：pd﹣pe=cf；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
结论运用】如图4，将矩形abcd沿ef折叠，使点d落在点b上，点c落在点c′处，点p为折痕ef上的任一点，过点p作pg⊥be、ph⊥bc，垂足分别为g、h，若ad=8，cf=3，求pg+ph的值；
迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形abcd中，e为ab边上的一点，ed⊥ad，ec⊥cb，垂足分别为d、c，且adce=debc，ab=dm，ad=3dm，bd=dm．m、n分别为ae、be的中点，连接dm、cn，求△dem与△cen的周长之和．
15.如图，在正方形abcd中，e、f分别为bc、ab上两点，且be=bf，过点b作ae的垂线交ac于点g，过点g作cf的垂线交bc于点h，延长线段ae、gh交于点m.
1）求证：∠bfc=∠bea；
2）求证：am=bg+gm.
16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
1）如图1所示，在等腰△abc中，ab＝ac，分别以ab、ac为斜边，向△abc的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中df⊥ab于点f，eg⊥ac于点g，m是bc的中点，连结md和me， 求证：
af＝ag＝ ab；②md＝me；
2）在任意△abc中，分别以ab、ac为斜边，向△abc的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，m是bc的中点，连结md和me，试判断△mde的形状（直接写答案，不需要写过程）
3）在任意△abc中，仍分别以ab、ac为斜边，向△abc的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，m是bc的中点，连结md和me，则md与me有怎样的数量关系？
19.如图，在等腰rt△abc中，o为斜边ac的中点，连接bo，以ab为斜边向三角形内部作rt△abe,且∠aeb=90°，连接eo.
求证：（1）∠oae=∠obe;（2）ae=be+oe.
2o.如图，已知，∠bac＝90，ab＝ac，bd是∠abc的平分线，且ce⊥bd交bd延长线于点e。
（1），若ad＝1，求dc；
（2）求证：bd＝2ce
21.如图所示，△中，,∠90°,⊥沿直线翻折到△，连结交、、分别于点、、.
1）求证：⊥；
2）求证：.
22.已知平行四边形abcd中，g为bc中点，点e在ad边上，且．
1)求证：e是ad中点；
2)若f为cd延长线上一点，连接bf，且满足，求证：cd=bf+df．
24.如图1，中，于点，于点，连接。
1）若，，，求的周长；
2）如图2，若，，的角平分线交于点，求证：；
3）如图3，若，，将沿着翻折得到，连接、，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论。
25.我们知道平行四边形有很多性质。现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。
会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形abcd中，∠b＝30，将△abc沿ac翻折至，连接。
发现与证明】：如图1：求证：①△agc是等腰三角形；
（只选一个证明哟，4分）
应用与解答】：如图2：如果ab＝，bc＝1，与cd相交于点e，求△aec的面积。
拓展与探索】如果ab＝，当bc的长为多少时，△ab′d是直角三角形？（4分）
26.在菱形abcd和正三角形bgf中，∠abc=60°，p是df的中点，连接pg、pc．
1）如图1，当点g在bc边上时，若ab=10，bf=4，求pg的长；
2）如图2，当点f在ab的延长线上时，线段pc、pg有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明。
3）如图3，当点f在cb的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明。
在菱形abcd中， =60°，以d为顶点作等边三角形def，连接，点分别为、的中点，连接。
（1）如图1，若点e在dp上，ef与cd交于点m，连接mn，,求mn的长；
（2）如图2，若为中点，求证：；
（3）如图3，若四边形abcd为平行四边形，且≠60°,以d为顶点作三角形，满足且，仍分别为ef、ec、bc的中点，请**与的和是否为一个定值，并证明你的结论。
28.如图1，正方菜abcd中，ac是对角线，等腰rtδcmn中，∠cmn=900，cm=mn，点m在cd边上；连接an，点e是an的中点，连接be。
1）若cm=2，ab=6，求ae的值；
2）求证：2be=ac+cn；
3）当等腰rtδcmn的点m落在正方形abcd的bc边上，如图2，连接an，点e是an的中点，连接be，延长nm交ac于点f。请**线段be、ac、cn的数量关系，并证明你的结论。
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