2011届高考数学第一轮课时精练测试题。
专题七球。一、选择题 (每小题6分，共36分)
1．(2023年南充模拟)已知球面上的三个点a、b、c，且ab＝6，bc＝8，ac＝10，球半径r＝15，则球心到平面abc的距离是( )
a．10 b．10
c．15 d．15
解析】 由题意截面圆的半径为5，球心到截面距离d＝＝10.
答案】 b2．(2023年江西)连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别等于，m、n分别为ab、cd的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
弦ab、cd可能相交于点m ②弦ab、cd可能相交于点n ③mn的最大值为5 ④mn的最小值为1
其中真命题的个数为( )
a．1个 b．2个。
c．3个 d．4个。
解析】 当ab，cd相交时，是一个球的一个截面圆的两条弦，由ab＝【答案】 c
3．(2023年湖北)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
a. b.
c．8π d.
解析】 s圆＝πr2＝1r＝1，而截面圆圆心与球心的距离d＝1，∴球的半径为r＝＝，v＝πr3＝，故选b.
答案】 b4．(2023年湖南)长方体abcd—a1b1c1d1的8个顶点在同一个球面上，且ab＝2，ad＝，aa1＝1，则顶点a、b间的球面距离是( )
a.2π b.π
c. d.
解析】 记长方体的外接球球心为o，半径为r，连结oa、ob，则有(2r)2＝22＋()2＋12＝8，r2＝2，oa2＝ob2＝2，在△aob中，oa2＋ob2＝ab2＝4，∠aob＝.因此，顶点a、b间的球面距离等于×＝，选c.
答案】 c5．已知三棱锥s—abc的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心o在ab上，so⊥底面abc，ac＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是( )
a．π b．2π
c．3π d．4π
解析】 ∵so⊥底面abc，so为三棱锥的高线，so＝r，又∵o在ab上，ab＝2r，ac＝r，acb＝90°，∴bc＝r，∴vs—abc＝××r×r×r＝r3.
又∵球的体积v＝πr3，＝＝4π.
答案】 d6．球的直径为d，体积为v球，一正方体的棱长为a，体积为v正，若它们的表面积相同，则有( )
a．d＞a，v球＞v正 b．d＞a，v球＜v正。
c．d＜a，v球＞v正 d．d＜a，v球＜v正。
解析】 由于球的体积为πr3＝v球，表面积为4πr2，因直径为d，故表面积为πd2，而正方体的表面积为6a2＝πd2，∴d＞a，从而正方体的体积为a3＝d3·，而v球＝π3＝d3.∵＜1，∴v球＞v正．
答案】 a二、填空题 (每小题6分，共18分)
7．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是___
解析】 沿球面距离运动其路程最短，＋＋
πr.答案】 πr
8．(2023年浙江)如图所示，已知球o的面上四点a、b、c、d，da⊥平面abc，ab⊥bc，da＝ab＝bc＝，则球o的体积等于___
解析】 将四面体补成一个球的内接正方体，由题意可得dc为正方体的体对角线，即球o的直径．则4r2＝3＋3＋3＝9，可得r2＝，∴r＝，故v＝π·3＝π.
答案】 π9．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为___
解析】 如图所示，o为球心，设球面上a、b、c三点任意两点的球面距离都等于大圆周长的，则∠aob＝∠boc＝∠coa＝，四面体o—abc是正四面体．
经过a、b、c三点的小圆周长为4π，小圆的圆心为o1，小圆半径o1a＝2，又o1a＝ab，ab＝＝，球的半径为。
答案】 三、解答题 (10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．球面上三点a，b，c组成这个球的一个截面的内接三角形．ab＝18，bc＝24，ac＝30，且球心到该截面的距离为球半径的一半．
1)求球的体积；
2)求a，c两点的球面距离．
解析】 (1)∵ab2＋bc2＝ac2，过a，b，c三点的截面圆的半径为15.
设球的半径为r，根据题意。
r2＝2＋152， r2＝152，r2＝300，r＝10，v球＝πr3＝π(10)3＝4 000π.
2)由(1)可知∠aoc＝120°，a、c两点的球面距离为：·2πr＝π×10＝π.
11．如图所示，球o的截面bcd把球的直径分成1∶3的两部分，bc是截面圆的直径，d为圆周上的一点，ca是球o的直径，若d分为∶＝1∶2，求ac与bd所成角的余弦值．
解析】 在bcd内作ce∥bd交圆面于e点，连结be、ae，则ac与ce所成角为ac与bd所成角．
bc为小圆的直径，ce＝bd，设小圆面圆心为o1，球半径为r.
面bcd将球o的直径分成1∶3，oo1＝r，bc＝r.
又∵d分成为∶＝1∶2，bd＝r.又∵ab＝2oo1＝r，在rt△ace中，ae＝2r，ce＝r，cos∠ace＝，即ac与bd所成角的余弦值为。
12．正三棱锥a—bcd的高为1，底面边长为2，内有一个球o与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．
解析】 方法一：过侧棱ab与球心o作截面(如图)，在正三棱锥中，be是底面正三角形的高，o1是底面正三角形的中心，且ae为斜高．
因为底面边长为2，o1e＝，且ae＝.
s棱锥全＝3××2×＋×2)2
作of⊥ae于f，设内切球半径为r，则of＝r，ao＝1－r.
rt△afo∽rt△ao1e，＝.
＝，r＝－2，s球＝8(5－2)π.
方法二：在rt△ao1e中，设∠e＝θ，则sin θ＝cos θ＝tan θ＝
连结oe，在rt△oo1e中，oo1＝o1e·tan＝－2，s球＝8(5－2)π.
连结oa、ob、oc、od，则。
va—bcd＝vo—abc＋vo—abd＋vo—acd＋vo—bcd.
设内切球的半径为r，则。
va—bcd＝··2)2＝·r·s棱锥全，s棱锥全＝＝9＋6，s棱锥全＝9＋6.
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