概率（2010模拟题）
一、选择题。
1. （2010届·东北四校高三三模（理））从1004名学生中选取50名参加活动，若采用下面的方法选取：选用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法进行抽样，则每人入选的概率（ ）
a．不全相等 b．均不相等
c．都相等且为d．都相等且为。
答案：c2. （2010届·广东省佛山市高三一模（理））已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：
先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为。
a．0.85 b．0.8192c．0.8 d． 0.75
答案：d3. （2010届·北京市朝阳区高三一模（理））（5）在区间[－，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数有零点的概率为
abcd）答案：b
4. （2010届·北京市朝阳区高三一模（文））（5）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是。
abcd）
答案：c5. （2010届·安徽省合肥高三四模（理））10．从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为 （ c ）
a． b． c． d．
6. （2010届·北京八中高三模拟（理））6．连续投掷两次骰子得到的点数分别为、，作向量a =(m,n)．则向量a与向量b=(1,-1)的夹角成为直角三角形内角的概率是（ a ）
a． b． c．
7. （2010届·成都石室中学高三二诊（理））11．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（c）
abcd．8. （2010届·杭州五中高三下5月模拟（理））将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为c ）
abc． d．
9. （2010届·重庆市万州二中高三考前模拟（理））三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是( c )
abcd．10. （2010·安徽安庆高三二模（文））已知函数、都是定义在上的函数，且(且)，，在有穷数列()中，任意取正整数，则其前项和大于的概率是( c )
a. b. cd.
二、填空题。
11. （2010届·安徽省芜湖高三一模（理））随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在该半圆内任何区域的概率与此区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率。
答案：12. （2010届·北京市丰台区高三二模（理））已知。若向区域上随机投一点p,则点p落入区域a的概率是 。
答案：13. （2010届·江西省吉安市高三二模（理））一幅扑克牌除去大、小王共52张，洗好后，四个人顺次每人抓13张，则两个红a（即红桃a、方块a）在同一个人手中的概率为。
14. （2010届·大连市高三二模（理））15．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，若在集合中任意取一个值，则双曲线的离心率大于3的概率是 。
15. （2010届·杭州五中高三下5月模拟（理））15．已知函数，若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则此函数在递增的概率__．
三、解答题。
16. （2010届·北京市丰台区高三二模（文））设集合p=和q=，分别从集合p和q中随机取一个数作为和组成数对（,并构成函数。
ⅰ）写出所有可能的数对(，并计算，且的概率；
ⅱ）求函数在区间[上是增函数的概率。
解析：（ⅰ所有基本事件如下：
2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ，共有15个4分。
设事件“，且”为a,则事件a包含的基本事件有8个6分。
所以p(a8分。
ⅱ）设事件“在区间上为增函数”为b,因函数的图象的对称轴为且》0，所以要使事件b发生，只需10分。
由满足题意的数对有（1，-1）、（2，-1）、（2，1）、（3，-1）、（3，1），共5个，12分。
所以，p(b14分。
17. （2010届·北京市朝阳外国语学校高三模拟）（18）（本小题共13分）
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在a处每投进一球得3分，在b处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在a处的命中率q为0.25，在b处的命中率为q，该同学选择先在a处投一球，以后都在b处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为。
1)求q的值；
2)求随机变量的数学期望e;
3)试比较该同学选择都在b处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
解析：（1）设该同学在a处投中为事件a,在b处投中为事件b,则事件a,b相互独立，且p(a)=0.25,, p(b)= q,.
根据分布列知： =0时=0.03,所以，q=0.8.
2）当=2时， p1=
0.75 q( )2=1.5 q( )0.24
当=3时， p2 ==0.01,当=4时， p3==0.48,当=5时， p4=
所以随机变量的分布列为。
随机变量的数学期望。
3）该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率为。
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率大。
命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，以及运用概率知识解决问题的能力。
18. （2010届·江西省吉安市高三二模（理））18．（本小题满分12分）
甲袋中装有若干质地、大小相同的黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑球、红球。某人有放回地从两袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其它球得零分，规定他最多取3次，如果前两次得分之和超过2分即停止取球，否则取第三次，取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在乙袋中取到一个黑球的概率为0.
8，用表示他取球结束后的总分，已知。
（1）求随机变量的数学期望；
（2）试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超过1分与选择上述方式取球得分超过1 分的概率的大小。
解析：（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，则。
p=0.25 ……2分。
依题意的取值为0，1，2，3
………3分。
………4分。
………5分。
………7分。
（2）用a表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过1分”
用b表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过1分”则。
………9分。
故即该人选择每次在乙袋中取球得分超过1分的概率大于该人选择。
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过1分的概率 ……12分。
19. （2010届·北京市朝阳区高三二模（理））(16)（本小题满分13分）
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球。
（ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；
（ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；
求取出的红球数的分布列和均值（即数学期望）.
解析：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件a，根据题意有。
答：取出1个红球2个黑球的概率是4分。
2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件b，“第3次取出黑球”为事件c，则，所以。
方法二：.答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是。 …7分。
随机变量的所有取值为。，.
所以13分。
20. （2010·安徽安庆高三二模（文））17.(12分)某班50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试的结果按如下方式分成五组：
第一组，第二组，…，第五组。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
若成绩大于或等于14秒且小于16秒，认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
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