江苏2011届高考模拟考试数学（1）
一、填空题（共计4道题，总分70分）
1、已知全集，，，那么___
2、如果复数 （其中为虚数单位，）的实部和虚部互为相反数，那。
么等于___
3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是。
4、已知cos(+)且，则sin
5．已知样本方差由求得，则。
6．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为。
7、已知直线m、n，平面、，且m⊥，n，给出下列命题：
、若∥，则m⊥n；
、若m⊥n，则∥；
、若⊥，则m∥n；
、若m∥n，则⊥．
其中正确的命题的序号是。
8．如图所示的流程图，输出的结果为。
9、函数的单调递增区间是。
10、设双曲线c：（a＞0，b＞0）的右焦点为f，o为坐标原点．若以f为圆心，fo为半径的圆与双曲线c的一条渐近线交于点a（不同于o点），则△oaf的面积为。
11、直线与圆相交于a、b两点，若，则实数t的范围
12．若，.则tana·tanβ=
13．已知函数f（x）=x3－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为m，m，则m－m= .
14、已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则。
二、解答题（共6道题，总计90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，且a⊥b．
（1）、求tanα的值；
2）、求cos()的值．
16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点． （1）求证： /平面；
2）求证：；
3）求三棱锥的体积．
17、为了降低能源损耗，对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
1）、求的值及的表达式；
2）、隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
18、给定椭圆c：，称圆心在原点o、半径为的圆是椭圆c的“伴椭圆” ，若椭圆c的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为；
1）、求椭圆c的方程及其“伴椭圆”的方程；
2）、若倾斜角为的直线与椭圆c只有一个公共点，且与椭圆c的“伴椭圆”相交于m、n两点，求弦mn的长。
3）、若点p是椭圆c“伴椭圆”上一动点，过点p作直线，使得与椭圆c都只有一个公共点，求证：。
19、已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，1）、求证为等差数列；
2）、若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）
3）、是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。
20、已知函数。
1）、若函数在处的切线方程为，求的值；
2）、若函数在为增函数，求的取值范围；
3）、讨论方程解的个数，并说明理由。
一、填空题：
， 9、，（注：开区间也可） 10、 ，14、.
二、解答题：（以下提供答案可参考，可结合学生解答参照给分）
15、解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝02分。
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－或tanα＝．6分。
α∈（tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－7分。
2）∵α由tanα＝－求得，＝2（舍去）．
12分。cos()＝14分。
16、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则。4分。
。。。4分。
3）， 且 ∴ 即。
17、解：（1）当时， 。
2），设，. 10分。
当且仅当这时，因此…. 12分。
所以，隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．….14分。
18、解：（1）椭圆的方程为，伴随圆的方程为。……4分。
2）设直线的方程，由得
由得6分。圆心到直线的距离为 ，所以8分。
3）①、当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与伴随圆交于点。
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，即为(或，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直10分。
、当都有斜率时，设点其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去得到，即12分。
经过化简得到：，
因为，所以有14分。
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即垂直16分。
19解：（1）由题意知1分。
因为， 数列是首项为，公差的等差数列4分。
（2）由（1）知，恒成立，即恒成立，……6分。
因为是递减函数，所以，当n=1时取最大值，，…
因而，因为，所以8分。
3）记，．9分。
、若是等比中项，则由得。
化简得，解得或（舍），所以，因而及 (舍去)．…11分。
、若是等比中项，则由得化简得。
显然不成立．……13分。
、若是等比中项，则由。
得。化简得，因为不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分。
综上：存在适合题意。……16分。
20、解：（1）因为： ，又在处的切线方程为。
所以解得： …3分。
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，即：在上恒成立。所以有3分。
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；……7分。
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。，所以方程有惟一解。……8分。
当时，因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。…10分。
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，所以方程在区间上有惟两解。 …14分。
综上所述：当时，方程无解；
当时，方程有惟一解；
当时方程有两解14分。
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