2019届高考数学解题方法复习

要活用计数原理。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习排列、组合以及概率知识的预备知识，高考应用题中，经常要运用两个原理进行分类或分步求解，如何灵活利用两个原理对问题进行分类或分步往往是解决排列、组合及概率问题的关键．

一、分类计数原理的应用。

例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有多少个？

解：根据题意，将十位数上的数字分成8类，分别是1，2，3，4，5，6，7，8，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理可知：符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个．

答：这样的两位数共有36个．

思考：同学们，你能换一种方法给出解答吗？（提示：从等可能出发，个两位数有一半满足题意．）

二、分步计数原理的应用。

例2 现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？

分析：完成排值班表这件事，可逐天安排，分步进行，用分步计数原理求解．

解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第。

四、第五天均有4种排法，由分步计数原理可得值班表共有不同的排法数为：

×4×4×4×4=1280种．

答：值班表共有1280种不同的排法．

注意：此题与2023年新课程卷文科第16题不同：将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有___种（以数字作答）．

若将答案写成3×2×2×2×2＝48种，就忽略了3种作物都必须种植的隐含条件，多计算了种方法．

因此原问题应有种不同的种植方法．

三、两个计数原理的综合应用。

例3 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有多少种？

解法1：第一步：四个人中的任意一人先取一张，则由题意知共有3种取法；

第二步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；

第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；

第四步：最后一人取，只有一种取法．

由分步计数原理，共有3×3×1×1=9种方法．

解法2：设四张贺卡分别记为，由题意，某人（不妨设卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏现象，我们用“树形图”表示如下：

易知共有9种不同的分配方式．

评注：同一问题既可用分步计数原理，又可用分类计数原理，要针对具体情况灵活选择．

友情提示：1．在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着要明确“分类”或者“分步”的具体标准是什么，简单地说“分类互斥”、“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时还要注意分类、分步不能重复，也不可遗漏．

2．对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出**，使问题的实质直观地显示出来，从而便于我们解题．