一、选择题：
1．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
a ．4 b．一4 c ．4+4d．2
2．在等差数列中，若，则该数列的前2009项的和为（ ）
a．3000b．2009c．2008d． 2007
3．设 x 、y均为正实数，且，则xy的最小值为（ ）
a．4 b． c．9 d．16
4.已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）
a、（1）（2）（3） b、（1）（4） c、（1）（2）（4） d、（2）（4）
5．在△abc中，a，b，c分别为∠a、∠b、∠c、的对边，若向量和。
平行，且，当△abc的面积为时，则b=（
a． b．2cd．2+
6．执行图1的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是（ ）
a 15 b14 c 7d 6
7．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点。
数记为b，设两条直线平行的概率为，相交的概率为，则复数所对应的点与直线。
的位置关系（ ）图1
a．在直线的右下方 b．在直线的右上方 c．在直线上 d．在直线的左下方。
8．已知抛物线，直线。、为曲线的两切线，切点为。
令甲：若在上，乙：；则甲是乙（ ）条件。
a 充要 b 充分不必要 c 必要不充分 d 既不充分也不必要。
二、填空题：
9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、**奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、**奶粉分别有种、种、种、种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是，则。
10．已知函数为常数），当时，函数取得极值，若函数只有三个零点，则实数c的取值范围___
11．设x,y满足约束条件，若的最小值为，则的值___
12．定义一个对应法则：.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则：。当点**段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为___
13.在直角坐标系中，参数方程为的直线，被以原点为极点、轴的正半轴为极轴、极坐标方程为的曲线所截，则得的弦长是。
14.设函数＞1)，且的最小值为，若，则的取值范围是___
15.如图3，点p在圆o直径ab的延长线上，且pb=ob=2,pc切圆o于c点，cdab于d点，则pc= ，cd
图3三、解答题：
16．已知设函数。
ⅰ）当，求函数的的值域；
ⅱ）当时，若=8, 求函数的值；
ⅲ)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数的表达式并判断奇偶性。
17．为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高。
一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）.
共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为。
ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；
ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为，求的分布列和数学期望。
18．如图，分别是直三棱柱直观图及其正视图、俯视图、侧视图。
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：⊥平面；
ⅲ)求二面角的大小。
19．在直角坐标平面上，o为原点，m为动点，. 过点m作mm1⊥y轴于m1，过n作nn1⊥x轴于点n1，. 记点t的轨迹为曲线c，点a（5，0）、b（1，0），过点a作直线l交曲线c于两个不同的点p、q（点q在a与p之间）.
(ⅰ)求曲线c的方程；
(ⅱ)是否存在直线l，使得|bp|=|bq|，并说明理由。
20．已知数列中的各项均为正数，且满足。记，数列的前项和为，且 .
ⅰ)数列和的通项公式；
(ⅱ)求证：.
2023年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空。
中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时。
运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的。
翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
ⅰ)求这个抛物线的解析式；
ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹。
为(ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时。
距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？
请通过计算说明理由；
ⅲ)某运动员按(ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
答案及详细解析】
一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．b．解析：由有．
2．c．解析：由得，从而， 选c．若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质+ =结论巧妙产生，过程简捷，运算简单．
3．d．解析：由可化为xy =8+x+y, x，y均为正实数， xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8，可解得，即xy16故xy的最小值为16．
解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式来构造一个新的不等式．
4．c．解析：如图（1），在平面内不可能有符合题意的点；如图（2），直线a、b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线a、b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选c．
5．b．解析：由向量和共线知①，由②，由c>b>a知角b为锐角，③，联立①②③得b=2.
6．a．解析：当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，此时；此时只要p的值为15即可使得判断框取“否”，从而输出n的值为5.
处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将与的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下。
7．d．解析：易知当且仅当时两条直线只有一个交点，而的情况有三种：
（此时两直线重合）；（此时两直线平行）；（此时两直线平行）.而投掷两次的所有情况有种，所以两条直线相交的概率；两条直线平行的概率为=，所对应的点为，易判断在的左下方，选d.
本题融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不等忽视了直线重合这种情况，否则会选c.
8．a．解析：设，由导数不难知道直线的斜率分别为进一步得①②，由①②可得点，（1）因为在上，所以，所以，所以；（2）若，，即，从而点在上。
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
一）必做题（9-12题）
9．．解析：，从而。
10．解析： ，当取得极值，得又当x充分小时又当x充分大时，若有3个实根，则，得。
本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的**性，解题的关键是：深刻理解函数“零点”的定义及数形结合方法的使用。
11．1．解析：，而表示过点(x,y)与（-1.-1）连线的斜率，易知，所以可作出可行域，知的最小值是即。
涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，式子的处理应当成为解决本题的关键，一般来说，高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了。
12．．解析：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识。由题意知的方程为：，设，则，从而有，易知，，不难得出， ,则，点的对应点所经过的路线长度为。
弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分。
二）选做题（13-15题，考生只能从中选做两题）
13．．解析：由题意知，直线的倾斜角为，并过点（2，0）；曲线是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆也过点（2，0）；设直线与圆的另一个交点为，在中，．
14．．解析：由题意知，满足条件的；解不等式有．
15．，．解析：由切割线定理得，连结oc，则， ,三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
解：(ⅰ2分。
………3分。
4分。由，……6分。
7分。ⅱ),8分。
所以9分。10分。
ⅲ)由题意知，所以12分。
故为奇函数13分。
17．（本小题满分12分）
解：(ⅰ设甲队获第一且丙队获第二为事件a,则………3分。
ⅱ) 可能取值为分。
则甲两场皆输5分。
甲两场只胜一场6分。
甲两场皆胜8分。
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