数学思想方法。
知识网络构建。
考情分析**。
数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁．
高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是充分利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写出解答过程)，突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由“形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化等．
纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．**2023年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．
第19讲函数与方程思想。
主干知识整合。
1．“函数与方程”思想的地位。
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．
2．“函数与方程”思想的作用。
运用方程思想解决问题主要从四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问题去解决．
3．“函数与方程”思想在高中数学中的体现。
1)函数与方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．
2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．
3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．
4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈n*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题．
5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．
6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
要点热点**。
**点一函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用。
例1 已知函数f(x)＝x3－2x2＋x，g(x)＝x2＋x＋a，若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．
解答】 函数f(x)与y＝g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程x3－2x2＋x＝x2＋x＋a有三个不同的实数根，即关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数根，令h(x)＝x3－3x2－a，则h′(x)＝3x2－6x.
令h′(x)<0，解得0令h′(x)>0，解得x<0或x>2.
所以h(x)在(－∞0)和(2，＋∞上为增函数，在(0,2)上为减函数．
所以h(0)为极大值，h(2)为极小值．
从而h(2)<0【点评】 本题在求解参数取值范围时，利用函数的极值处理，迅速准确地使问题得到解决．
变试题。如果关于实数x的方程ax2＋＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为( )a．c．
b 【解析】 原问题a＝－有且仅有一个正实数解．
令＝t(t≠0)，则a＝－t3＋3t.
令f(t)＝－t3＋3t(t≠0)，f′(t)＝－3t2＋3，由f′(t)＝0，得t＝1或t＝－1.
又t∈(－1,1)且t≠0时，f′(t)>0；t∈(－1)，(1，＋∞时，f′(t)<0.
所以f(t)极大值＝f(1)＝2.
又t→－∞f(t)→＋t→＋∞f(t)→－
结合三次函数图象即可得到答案．
**点二准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题。
例2 已知a、b、c是直线l上的三点，向量，，满足：－[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0.
1)求函数y＝f(x)的表达式；
2)若x>0，证明：f(x)>；
3)若不等式x2≤f(x2)＋m2－2bm－3时，x∈[－1,1]及b∈[－1,1]都恒成立，求实数m的取值范围．
解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数，借助导数研究单调性，利用值域构建不等式求解参数范围问题．
1)∵－y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝y＋2f′(1)]－ln(x＋1)，由于a、b、c三点共线，即[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)]＝1，y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f′(1)，f′(x)＝，故f′(1)＝，f(x)＝ln(x＋1)．
2)令g(x)＝f(x)－，由g′(x)＝－x＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞上是增函数，故g(x)＞g(0)＝0，即f(x)＞.
3)原不等式等价于x2－f(x2)≤m2－2bm－3，令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(x2＋1)，由h′(x)＝x－＝＝当x∈[－1,1]时，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0.
令q(b)＝m2－2bm－3，则。
解得m≥3或m≤－3.
变试题对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2＋px＞4x＋p－3都成立，则实数x的取值范围是。
x>3或x<－1
解析】 原不等式可化为p(x－1)＋(x2－4x＋3)＞0，记f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋3，由已知0≤p≤4，f(p)＞0恒成立，有解之得x＞3或x＜－1.
点评】 反客为主，变换主元是解题的关键．
**点三利用函数与方程的相互转化，解决有关问题。
例3 (1)设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈，都有y∈满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为。
解析】 由logax＋logay＝c，得y＝(x∈[a,2a])，则当x∈[a,2a]时，y∈.
又对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]，因此又仅有一个常数c，所以2＋loga2＝3a＝2.
2)函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是( )
a. bc. d.
2)c 解析】 由y＝，得y2＝1－cos2x＝5y2＋4y2cosx.
令t＝cosx(t∈[－1,1])，则等价于方程t2＋4y2·t＋5y2－1＝0在[－1,1]上有实数根．
令g(t)＝t2＋4y2·t＋5y2－1，g(－1)＝y2≥0，g(1)＝9y2≥0，故y2≤，因此值域为，选c.
**点四运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题。
例4 若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1a. bc. d.
a 解析】设函数f(x)＝x2＋2kx－1，关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1∴即∴－变试题已知a∈r，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是。
解析】方程即＋|a|＝－x2－x＝－2＋∈，利用绝对值的几何意义，得≤＋|a|≤，可得实数a的取值范围为。
**点五函数方程思想在数列问题中的应用。
例5 [2010·全国卷ⅰ] 记等差数列的前n项和为sn，设s3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求sn.
解答】 设数列的公差为d，依题设有即。
解得或。因此sn＝n(3n－1)，或sn＝2n(5－n)．
变试题已知函数f(x)＝若数列满足an＝f(n)(n∈n*)，且是递增数列，则实数a的取值范围是( )
abc．[2,3d．(1,3)
解析】a 依题意，数列满足an＝f(n)(n∈n*)，且是递增数列，所以f(x)在(0，＋∞上是增函数，所以解得≤a<3，选择a.
教师备选习题。
选题理由：均为高考中的重点：1.导数与不等式〈构造函数〉；
2数列与不等式〈选择函数中恰当的主元〉)
1．[2010·安徽卷] 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
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