第六讲立体几何新题型的解题技巧。
考点1 点到平面的距离。
例1（2023年福建卷理）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
例2.( 2023年湖南卷)如图，已知两个正四棱锥p-abcd与q-abcd的高分别为1和2,ab=4.
ⅰ)证明pq⊥平面abcd；
ⅱ)求异面直线aq与pb所成的角；
ⅲ)求点p到平面qad的距离。
考点2 异面直线的距离。
例3 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面。分别为的中点，求cd与se间的距离。
考点3 直线到平面的距离。
例4． 如图，在棱长为2的正方体中，g是的中点，求bd到平面的距离。
考点4 异面直线所成的角。
例5（2023年北京卷文）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
）求证：平面平面；
）求异面直线与所成角的大小．
例6．（2023年广东卷）如图所示，af、de分别是⊙o、⊙o1的直径。ad与两圆所在的平面均垂直，ad＝8,bc是⊙o的直径，ab＝ac＝6，oe//ad.
ⅰ)求二面角b—ad—f的大小；
ⅱ)求直线bd与ef所成的角。
考点5 直线和平面所成的角。
例7.（2023年全国卷ⅰ理）
四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，
ⅰ）证明；ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
考点6 二面角。
例8．（2023年湖南卷文）
如图，已知直二面角，，，直线和平面所成的角为．
i）证明。ii）求二面角的大小．
例9．( 2023年重庆卷)如图，在四棱锥p－abcd中，pa底面abcd, dab为直角，ab‖cd，ad=cd=2ab, e、f分别为pc、cd的中点。
ⅰ）试证：cd平面bef；
ⅱ）设pa＝k·ab,且二面角e-bd-c的平面角大于，求k的取值范围。
考点7 利用空间向量求空间距离和角。
例10．（2023年江苏卷）
如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
1）求证：四点共面；
2）若点在上，，点在上，垂足为，求证：平面；
3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
例11．（2023年全国ⅰ卷）
如图，l1、l2是互相垂直的两条异面直线，mn是它们的公垂线段，点a、b在l1上，c在l2上，am=mb=mn
i）证明acnb；
ii）若，求nb与平面abc所成角的余弦值。
考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断。
例12 . 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大。
例13 .如图左，在正三角形abc中，d、e、f分别为各边的中点，g、h、i、j分别为af、ad、be、de的中点，将△abc沿de、ef、df折成三棱锥后，gh与ij所成角的度数为（ ）
a、90b、60c、45° d、0°
例14.长方体abcd－a1b1c1d1中，1 设对角线d1b与自d1出发的三条棱分别成α、β角。
求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝1
2 设d1b与自d1出发的三个面成α、β角，求证：
cos2α＋cos2β＋cos2＝2
考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算。
例15. 如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝a，bc＝ca＝aa1＝a，a1在底面△abc上的射影o在ac上。
1 求ab与侧面ac1所成角；
2 若o恰好是ac的中点，求此三棱柱的侧面积。
例16. 等边三角形abc的边长为4，m、n分别为ab、ac的中点，沿mn将△amn折起，使得面amn与面mncb所成的二面角为30°，则四棱锥a—mncb的体积为 （
ab、 c、 d、3
例17.如图，四棱锥p—abcd中，底面是一个矩形，ab＝3，ad＝1，又pa⊥ab，pa＝4，∠pad＝60°
1 求四棱锥的体积；
2 求二面角p－bc－d的大小。
例18 .（2023年全国卷ⅱ）已知圆o1是半径为r的球o的一个小圆，且圆o1的面积与球o的表面积的比值为，则线段oo1与r的比值为。
专题训练与高考**】
一、选择题。
1．如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=1，d在bb1上，
且bd=1，若ad与侧面aa1cc1所成的角为，则的值为。
ab. cd.
2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面。
内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ）
a. 最小值，最大值b. 最小值，最大值。
c. 最小值，无最大值d. 无最小值，最大值。
3．在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（ ）
abcd.
4．如图，直平行六面体abcd-a1b1c1d1的棱长均为2，则对角线a1c与侧面dcc1d1所成。
的角的正弦值为（ ）
ab. cd.
5．已知在中，ab=9，ac=15，，它所在平面外一点p到三顶点的距离都是14，那么点p到平面的距离为（ ）
a. 13b. 11c. 9d. 7
6．如图，在棱长为3的正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n分别是棱a1b1、a1d1的中点，则点b到平面amn的距离是（ ）
abcd. 2
7．将，边长mn=a的菱形mnpq沿对角线nq折成的二面角，则mp与nq间的距离等于( )
abcd.
8．二面角的平面角为，在内，于b，ab=2,在内，于d，cd=3,bd=1, m是棱上的一个动点，则am+cm的最小值为( )
abcd.
9．空间四点a、b、c、d中，每两点所连线段的长都等于a, 动点p**段ab上， 动点q**段cd上，则p与q的最短距离为( )
abcd.
10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
a. b. c. d.
11．已知长方体abcd-a1b1c1d1中，a1a=ab=2，若棱ab上存在点p，使，则棱ad的长的取值范围是 (
abcd.
12．将正方形abcd沿对角线ac折起，使点d在平面abc外，则db与平面abc所成的角一定不等于（ ）
abcd.
二、填空题。
1．如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e是a1b1的中点，则下列四个命题：
1 e到平面abc1d1的距离是；
2 直线bc与平面abc1d1所成角等于；
3 空间四边形abcd1在正方体六个面内的射影围成。
面积最小值为；
4 be与cd1所成的角为。
2．如图，在四棱柱abcd---a1b1c1d1中，p是a1c1
上的动点，e为cd上的动点，四边形abcd满。
足时，体积恒为定值（写上。
你认为正确的一个答案即可）
3．边长为1的等边三角形abc中，沿bc边高线ad
折起，使得折后二面角b-ad-c为60°,则点a到。
bc的距离为点d到平面abc的距离。
为。4．在水平横梁上a、b两点处各挂长为50cm的细绳，am、bn、ab的长度为60cm，在mn处挂长为60cm
的木条，mn平行于横梁，木条的中点为o，若木条。
绕过o的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了。
5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的。如图正方体的一个顶点a在平面内。其余顶点在的同侧，正方体上与顶点a相邻的三个顶点到的距离分别是和4.
p是正方体其余四个顶点中的一个，则p到平面的距离可能是：
以上结论正确的为。
写出所有正确结论的编号）
6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）o1、o2、o3它们分别是所在面的中心。如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是___m3.
三、解答题。
1． 在正三棱柱abc—a1b1c1中，底面边长为a,d为bc为中点，m在bb1上，且bm=b1m，又cm⊥ac1;
1） 求证：cm⊥c1d;
2） 求aa1的长。
2． 如图，在四棱锥p-abcd中，底面是矩形且ad=2，ab=pa=，pa⊥底面abcd，e是ad的中点，f在pc上。
1) 求f在何处时，ef⊥平面pbc；
2) 在(1)的条件下，ef是不是pc与ad的公垂线段。若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
3) 在(1)的条件下，求直线bd与平面bef所成的角。
3．如图，四棱锥s—abcd的底面是边长为1的正方形，sd垂直于底面abcd，sb=．
1）求证bcsc；
（2）求面asd与面bsc所成二面角的大小；
立体几何解题技巧例说
安徽李庆社。一 有关点共线 点共面 面共线问题。例1 已知d e f分别是三棱锥s abc的侧棱sa sb sc上的点，且直线fd与ca交于m，fe与cb交于n，de与ab交于p，求证 m n p三点必共线 点拨 证明若干个点共线的重要方法之一，是证明这些点分别是某两个平面的公共点 证明 由已知，显...
解析几何新题型的解题技巧总结
第七讲解析几何新题型的解题技巧。命题趋向 解析几何例命题趋势 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中 低档题，以选择 填空题的形式出现，每年必考。2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题 填空题出现。3.考查圆锥曲线的基础知识和基...
雅思阅读题型的解题技巧
雅思阅读题型的解题技巧1 许多英语考试的题型已经逐渐向雅思靠拢，今年新四六级的考题就有一道t f n的题型，这种阅读题，是有做题技巧的，我们可以看看关于这道题的分析 阅读理解分成两个部分，仔细阅读和快速阅读，各占分值的25 和10 快速阅读这部分是以前没有出现过的，在新四级的题型当中，出现了非判断的...