2011高考数学萃取精华（20）
1. 哈尔滨四校一模。
20．(本小题满分12分)
已知定义在正实数集上的函数，，其中．
ⅰ）设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；
ⅱ）设，证明：若，则对任意， ，有．
20.（本题满分12分）
ⅰ）设交于点，则有。
即 （1）又由题意知，即 （2） 2分。
由（2）解得
将代入（1）整理得4分。
令，则。时，递增，时递减，所以。
即，的最大值为6分。
ⅱ）不妨设，变形得。
令，在内单调增，，同理可证命题成立。
………12分。
21．(本小题满分12分)
已知点是抛物线：（）上异于坐标原点的点，过点与抛物线：相切的两条直线分别交抛物线于点a，b．
ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程及弦的长；
ⅱ）判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由．21. （本题满分12分）
ⅰ）由在抛物线上可得，，抛物线方程为………1分。
设抛物线的切线方程为：
联立，，由，可得
可知。可知3分。
易求直线方程为4分。
弦长为5分。
ⅱ）设，三个点都在抛物线上，故有，作差整理得。
所以直线：，直线：
………6分。
因为均是抛物线的切线，故与抛物线方程联立，，可得：
两式相减整理得：，即可知。
………8分。
所以直线：，与抛物线联立消去。
得关于的一元二次方程10分。
易知其判别式，因而直线与抛物线相切。故直线与抛物线相切。
12分。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲。
已知中，垂足为，，垂足为，垂足为．求证：（ⅰ22．（本题满分10分）
ⅰ） 证明：,即4分。
ⅱ）由射影定理知。
又由三角形相似可知，且。
∴，结合射影定理。
分。23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。
已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．ⅰ）求直线的直角坐标方程；
ⅱ）设直线与曲线交于，四两点，原点为，求的面积．23．（本题满分10分）
ⅰ）直线的直角坐标方程为：；
………3分。
ⅱ）原点到直线的距离，直线参数方程为： 曲线的直角坐标方程为。
联立得：，求得。
所以10分。
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲。
若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
24．（本题满分10分）
令，即可，当时，取最小值3
即可， 故10分。
2. 驻马店一模。
20. （本小题满分12分）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．20.解：（1）求导：。。1分。
当时，，，在上递增2分。
当，求得两根为3分。
即在递增，递减，递增6分。
2），。6分。
且解得： 。12分。
21. （本小题满分12分）
设函数，且（为自然对数的底数）.
ⅰ）求实数与的关系；
ⅱ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
ⅲ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围。
21. 解：（ⅰ由题意，得，化简得2分。
ⅱ）函数的定义域为。由（ⅰ）知，3分。
令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立。
1）当时，，.
在内为单调减函数，故符合条件4分。
2）当时，.只需，即时，此时。
在内为单调增函数，故符合条件6分。
3）当时，.只需，此时。
在内为单调减函数，故符合条件。
综上可得， 或为所求8分。
ⅲ）在上是减函数，时，；时，.
即9分。1）当时，由（ⅱ）知，在上递减，，不合题意。 10分。
2）当时，由知，.
由（ⅱ）知，当时，单调递增，不合题意10分。
3）当时，由（ⅱ）知在上递增，又在在上递减，.
即，.综上，的取值范围是。
22．（本小题满分12分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为。
ⅰ）求双曲线的方程；
ⅱ）已知直线与双曲线c 交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆上，求m的值。
22.（本小题满分12分）
ⅰ）由题意，得，解得，，∴所求双曲线的方程为。 。4分。
ⅱ）设a、b两点的坐标分别为，线段ab的中点为，由得（判别式）,。4分，点在圆上，12分。
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