2011高考数学萃取精华（10）
1. 南通、扬州、泰州三市一模。
17．（本小题满分15分）
设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.
1）若a1=qm，m∈z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列。
中的项；2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且。
m≥－1，使得a1=qm.
证明：（1）设为等比数列中不同的两项，由，得2分。
又，且，所以．
所以是数列的第项6分。
2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，得，．
令整数，则9分。
下证整数．若设整数，则．令，由题设，取，使 ，即，所以，即．……12分。
所以q>0，q≠1，，与矛盾！
所以15分。
18．（本小题满分15分）
平面直角坐标系xoy中，已知⊙m经过点f1（0，－c），f2（0，c），a（c，0）三点，其中c＞0．
1）求⊙m的标准方程（用含的式子表示）；
2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为d、b，m与x轴的两个交点分别为a、c，且a点在b点右侧，c点在d点右侧．
求椭圆离心率的取值范围；
若a、b、m、o、c、d（o为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线mf1与直线df2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
18解：（1）设⊙m的方程为，则由题设，得解得 ……3分。
m的方程为，m的标准方程为5分。
2）⊙m与轴的两个交点，，又，由题设即所以………7分。
解得，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为10分。
3）由（1），得．由题设，得．
直线mf1的方程为， ①
直线df2的方程为13分。
由①②，得直线mf1与直线df2的交点，易知为定值，直线mf1与直线df2的交点q在定直线上．……15分。
19．（本小题满分16分）
如图所示的自动通风设施．该设施的下部abcd是等腰梯形，其中ab=1米，高0.5米，cd=2a（a＞）米．上部cmd是个半圆，固定点e为cd的中点．△emn是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），mn是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和cd平行的伸缩横杆．
1）设mn与ab之间的距离为x米，试将三角通风窗emn的通风面积s（平方米）表示成关于x的函数；
2）当mn与ab之间的距离为多少米时，三角通风窗emn的通风面积最大？并求出这个最大面积．
19解：（1）（一）时，由平面几何知识，得．，．3分。
二） 时，5分。
2） （一）时，．，当时，．，当时，．…7分。
二）时， 等号成立 ．
时10分。a．时，∵，时．当，时，当12分。
b．时，．当时14分。
综上，时，当时，，即mn与ab之间的距离为0米时，三角通风窗emn的通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗emn的通风面积最大，最大面积为平方米．……16分。
20．（本小题满分16分）
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
20解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c．……2分。
由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．
考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2．
所以故－16（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c， （
所以x3－12x>－16，即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． …7分。
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．
所以或m－2>2，即－24． …9分。
3）由题设，可得存在α，βr，使。
f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β）且x2＋αx＋β≥0恒成立11分。
又f（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，所以f（x） ＝x－t1）（x－t2）213分。
另一方面，g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c
x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．
因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0．
所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0．
而 x－t1>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减．
从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点16分。
2. 江西师大附中二模。
20．（本小题满分12分）
已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
1）判断函数在区间上的单调性；
2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20. （1）解：∵，
令，得． 若，则，在区间上单调递增。
若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减。 …6分。
2）解：∵，由（1）可知，当时，．
此时在区间上的最小值为，即．
当，，，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直……12分。
21．（本小题满分12分）
已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．
1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；
2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．
21. （1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系。
若，即，动点所在的曲线不存在；
若，即，动点所在的曲线方程为；
若，即，动点所在的曲线方程为。
4分。2)当时，其曲线方程为椭圆。
由条件知两点均在椭圆上，且。
设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组得，同理可求得，
面积8分。令则。
令所以，即
当时，可求得，故， 故的最小值为，最大值为1. …12分。
2）另解：令，则。
解得。所以，而。
因此，即最大值是1，最小值是。
22．（本小题满分12分）
函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为。
1）求数列{}的通项公式；
2）若数列的项中仅最小，求的取值范围；
3）令函数，.数列满足：,且，(其中).证明：.
22. 解：(1)令解得由解得
函数的反函数。
则得 是以2为首项，1为公差的等差数列，故………4分。
在点处的切线方程为。
令得。仅当时取得最小值， ∴的取值范围为………8分。
所以又因则
显然………10分。
12分。………14分。
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