1．椭圆的中心是原点o，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
2）若，求直线的方程；
3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明。 (14分)
2． 已知函数对任意实数x都有，且当时，。
1） 时，求的表达式。
2） 证明是偶函数。
3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当。
3．（本题满分12分）如图，已知点f（0，1），直线l：y=-2，及圆c：。
1） 若动点m到点f的距离比它到直线l的距离小1，求动点m的轨迹e的方程；
2） 过点f的直线g交轨迹e于g（x1，y1）、h（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
3） 过轨迹e上一点p作圆c的切线，切点为a、b，要使四边形pacb的面积s最小，求点p的坐标及s的最小值。
4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形。
5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈r，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于a、b两点，当ab线段在x轴上射影为a1b1时，试求|a1b1|的取值范围。
6 已知过函数f（x）=的图象上一点b（1，b）的切线的斜率为－3。
1） 求a、b的值；
2） 求a的取值范围，使不等式f（x）≤a－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？
7 已知两点m（－2，0），n（2，0），动点p在y轴上的射影为h，︱︱是2和的等比中项。
1） 求动点p的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
2） 若以点m、n为焦点的双曲线c过直线x+y=1上的点q，求实轴最长的双曲线c的方程。
8．已知数列满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为sn，试比较sn与的大小，并证明你的结论。
9．已知焦点在轴上的双曲线c的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知c的一个焦点与a关于直线对称．
ⅰ）求双曲线c的方程；
ⅱ）设直线与双曲线c的左支交于a，b两点，另一直线经过m（-2，0）及ab的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；
ⅲ）若q是双曲线c上的任一点，为双曲线c的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为n，试求点n的轨迹方程．
10.对任意都有。
ⅰ）求和的值．
ⅱ）数列满足： =数列是等差数列吗？请给予证明；
ⅲ）令。试比较与的大小．
11. ：如图，设oa、ob是过抛物线y2＝2px顶点o的两条弦，且＝0，求以oa、ob为直径的两圆的另一个交点p的轨迹。(13分)
12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋)的定义域为r
1)求实数m的取值集合m；
2)求证：对m∈m所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值。
13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=
(1). 求f(的值。
（2）。证明：f(x)在[上是增函数。
（3）。对任意正数x1、x2,求证：
14．已知数列各项均为正数，sn为其前n项的和。对于任意的，都有。
求数列的通项公式。
若对于任意的恒成立，求实数的最大值。
15.( 12分)已知点h（－3，0），点p在y轴上，点q在x轴的正半轴上，点m在直线pq上，且满足·=0， =1）当点p在y轴上移动时，求点m的轨迹c；
2）过点t（－1，0）作直线l与轨迹c交于a、b两点，若在x轴上存在一点e（x0,0），使得△abe为等边三角形，求x0的值。
16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈n*.
1) 求数列｛an｝的通项公式；
2)若t2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,qn=,其中n∈n*,试比较9t2n与qn的大小。
17． 已知=（x,0），=1，y），（
i） 求点（x，y）的轨迹c的方程；
ii） 若直线l：y=kx+m(m0)与曲线c交于a、b两点，d（0，–1），且有 |ad|=|bd|，试求m的取值范围．
18．已知函数对任意实数p、q都满足。
（1）当时，求的表达式；
（2）设求证：
（3）设试比较与6的大小．
19．已知函数若数列：…，成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）若的前n项和为sn，求；
（3）若，对任意，求实数t的取值范围。
20．已知△ofq的面积为。
（1）设正切值的取值范围；
（2）设以o为中心，f为焦点的双曲线经过点q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。
（3）设f1为（2）中所求双曲线的左焦点，若a、b分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动。
点，且2|ab|=5|f1f|，求线段ab的中点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足。
1 求的通项公式；
若的前项和为，求。
22、直角梯形abcd中∠dab＝90°，ad∥bc，ab＝2，ad＝，bc＝．椭圆c以a、b为焦点且经过点d．
1）建立适当坐标系，求椭圆c的方程；
2）若点e满足，问是否存在不平行ab的直线l与椭圆c交于m、n两点且，若存在，求出直线l与ab夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数。
（1）求证：对一切为定值；
（2）记求数列的通项公式及前n项和。
24. 已知函数是定义在r上的偶函数。当x0时， =
i) 求当x<0时，的解析式；
ii) 试确定函数= (x0)在的单调性，并证明你的结论。
iii) 若且，证明：|－2.
25、已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于a、b两点，若线段ab的垂直平分线与x轴交于d(x0,0)
求x0的取值范围。
△abd能否是正三角形？若能求出x0的值，若不能，说明理由。
26、已知□abcd，a（-2，0），b（2，0），且∣ad∣=2
求□abcd对角线交点e的轨迹方程。
过a作直线交以a、b为焦点的椭圆于m、n两点，且∣mn∣=，mn的中点到y轴的距离为，求椭圆的方程。
与e点轨迹相切的直线l交椭圆于p、q两点，求∣pq∣的最大值及此时l的方程。
27．（14分）（理）已知椭圆，直线l过点a（－a，0）和点b（a，ta）
（t＞0）交椭圆于m.直线mo交椭圆于n.（1）用a，t表示△amn的面积s；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求s的最大值。
28．已知函数f(x)=的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若数列（n∈n*）满足：an>0，a1=1，an+1= [f()]2，求数列的通项公式an，并证明你的结论。
30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。
1）求数列，的通项公式；
2）若求；3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
21．经过抛物线的焦点f的直线与该抛物线交于、两点。 (12分)
1）若线段的中点为，直线的斜率为，试求点的坐标，并求点的轨迹方程。
2）若直线的斜率，且点到直线的距离为，试确定的取值范围。
高考数学30道压轴题训练”答案。
1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得解得。
所以椭圆的方程为，离心率。
2）解：由（1）可得a（3，0）。
设直线pq的方程为。由方程组。
得，依题意，得。
设，则。由直线pq的方程得。于是。
由①②③得，从而。
所以直线pq的方程为或。
3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组。
注意，解得。
因，故。而，所以。
2 ①f(x)= 2k≦x≦2k+2, k∈z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根。
3 ①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶p(±2,1) smin=
4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为b（0，1）
设bc∶y＝kx＋1（k＞0）
则ab∶y＝－x＋1
把bc方程代入椭圆，
是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
|bc|＝，同理|ab|＝
由|ab|＝|bc|，得 k3－a2k2＋ka2－1＝0
k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0
k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，δ＝a2－1）2－4
由δ＜0，得1＜a＜
由δ＝0，得a＝，此时，k＝1
故，由δ≤0，即1＜a≤时有一解
由δ＞0即a＞时有三解
5 解：依题意，知a、b≠0
a＞b＞c且a＋b＋c＝0
a＞0且c＜0
ⅰ）令f（x）＝g（x），
得ax2＋2bx＋c＝0.（*
＝4（b2－ac）
a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴δ0
f（x）、g（x）相交于相异两点
ⅱ）设x1、x2为交点a、b之横坐标
则|a1b1|2＝|x1－x2|2，由方程（*）知
a1b1|2＝ ，而a＞0，∴
|a1b1|∈（2）
6、解：（1）=
依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3
把b（1，b）代入得b=
a=－3，b=－1
2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤a－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤a－1987
a≥2004。
1） 已知g（x）=－
0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，1 当t＞3时，t－3x2＞0，
g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意，舍去）
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