2023年高考数学最后压轴大题系列-解析几何。
1. 直线的右支交于不同的两点a、b.
ⅰ）求实数k的取值范围；
ⅱ）是否存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
解：（ⅰ将直线。
依题意，直线l与双曲线c的右支交于不同两点，故。
ⅱ）设a、b两点的坐标分别为、，则由①式得。
假设存在实数k，使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f（c,0）.
则由fa⊥fb得：整理得。
把②式及代入③式化简得。
2. 设双曲线c：相交于两个不同的点a、b.
i）求双曲线c的离心率e的取值范围：
ii）设直线l与y轴的交点为p，且求a的值。
解：（i）由c与t相交于两个不同的点，故知方程组。
有两个不同的实数解。消去y并整理得
1－a2）x2+2a2x－2a2=0
双曲线的离心率。
ii）设。由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，3. 已知为椭圆c的两焦点，p为c上任意一点，且向量的夹角余弦的最小值为。
(ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ)过的直线与椭圆c交于m、n两点，求（o为原点）的面积的最大值及相应的直线的方程。
解：(ⅰ设椭圆的长轴为2a, 又
即。椭圆方程为
ⅱ) 由题意可知nm不可能过原点，则可设直线nm的方程为： 设。
即 . 由韦达定理得：
令， 则。
又令， 易知在[1,+∞上是增函数，所以当，即时有最小值5.
有最大值 ∴的面积有最大值。
直线的方程为。
4. 椭圆e的中心在原点o，焦点在x轴上，离心率=，过点c(1，0)的直线交椭圆于a、b两点，且满足： =
ⅰ)若为常数，试用直线的斜率k(k≠0)表示三角形oab的面积．
ⅱ)若为常数，当三角形oab的面积取得最大值时，求椭圆e的方程．
ⅲ)若变化，且= k2＋1，试问：实数和直线的斜率分别为何值时，椭圆e的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
解：设椭圆方程为(a＞b＞0)，由==及a2= b2c2得a2=3 b2，故椭圆方程为x2＋3y2= 3b2
ⅰ)∵直线：y = k(x＋1)交椭圆于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，并且= (2)，(x11，y1) =1x2，y2)，即。
把y = k(x1)代入椭圆方程，得(3k21)x26k2x3k23b2= 0，且 k2 (3b21)b2＞0
x1x2x1x2
=|y1y2| =1|·|y2| =k |·x21|．
联立②、③得x21=，=k≠0
当且仅当3| k | 即k =时，取得最大值，此时x1x2= 1．
又∵x11= (x21)，x1=，x2= ，代入④得3b2=．此时3b25，的值符合(*)
故此时椭圆的方程为x2＋3y2= (2
ⅲ)由②、③联立得：
x1=1，
x2=1，将x1，x2代入④，得=1．
由k2=1得=1
易知，当时，3b2是的减函数，故当时，取得最大值3． 所以，当，k =±1(符合(*)时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2 3y2 = 3
5. 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线。
（i）求椭圆的离心率；
（ii）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
解：（i）设椭圆方程为。
则直线ab的方程为。
化简得。令。
则 共线，得。
ii）证明：由（i）知，所以椭圆可化为。
在椭圆上，即 ①
由（i）知。
又又，代入①得
故为定值，定值为1.
6. 已知椭圆的左焦点为f，o为坐标原点。
i）求过点o、f，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
ii）设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，线段ab的垂直平分线与轴交于点g，求点g横坐标的取值范围。
解：（i）圆过点o、f，圆心m在直线上。
设则圆半径。
由得。解得。
所求圆的方程为。
（ii）设直线ab的方程为。
代入整理得。
直线ab过椭圆的左焦点f，方程有两个不等实根。
记中点。则。
的垂直平分线ng的方程为。
令得。点g横坐标的取值范围为。
7. 已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足。设圆的方程为。
) 证明线段是圆的直径；
)当圆c的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值。
)证明1:
整理得： 设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点，则。
即。整理得：
故线段是圆的直径。
证明2: 整理得：
设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则。
即。去分母得：
点满足上方程，展开并将(1)代入得：
故线段是圆的直径。
证明3: 整理得： …1)
以线段ab为直径的圆的方程为。
展开并将(1)代入得： 故线段是圆的直径。
)解法1:设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为。
设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
当y=p时，d有最小值，由题设得 .
解法2: 设圆c的圆心为c(x,y),则。
又因。所以圆心的轨迹方程为。
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为，则。
因为x-2y+2=0与无公共点，所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为。
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆c的圆心为c(x,y),则。
圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。
又因 当时，d有最小值，由题设得。
8. 椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使。
1）求椭圆离心率的取值范围；
2）当离心率取最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为。
求此时椭圆的方程；
设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，为的中点，问两点能否关于过、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。
解：（1）设……①
将代入①得求得 ……4分。
2）①时，设椭圆方程为，是椭圆上任一点，则
ⅰ）若，则时， ，此时椭圆方程为7分。
ⅱ）若，则时， ∴矛盾。
综合得椭圆方程为9分。
由得 可求得，由求得，
代入解得 11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线。
与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
11．（ⅰ解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，． 2分。
如图，设，其中，且满足方程，故．①
由知，得；由在上知，得．
所以， 化简得， 解得或． 6分。
（ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，． 9分。
又，所以四边形的面积为。
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
解法二：由题设，，．设，，由①得，故四边形的面积为。
9分。当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分。
12、已知椭圆的离心率。 直线（）与曲线交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为．
(1) 求椭圆的方程；
2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值。
12、（1）解：∵椭圆的离心率2分。
解得椭圆的方程为4分。
2）解法1：依题意，圆心为．
由得。 ∴圆的半径为． …6分。
圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，，即。
弦长8分。
的面积9分。
12分。当且仅当，即时，等号成立。
∴的面积的最大值为14分。
解法2：依题意，圆心为．
由得。∴ 圆的半径为． …6分。
∴ 圆的方程为．
圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，，即．
在圆的方程中，令，得，∴ 弦长． （资料**：数学驿站 ……8分。
的面积9分
12分。当且仅当，即时，等号成立。 ∴的面积的最大值为．
15、已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．
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