2023年高考数学最后压轴大题系列 解析几何

发布 2022-01-13 08:16:28 阅读 9950

2023年高考数学最后压轴大题系列-解析几何。

1. 直线的右支交于不同的两点a、b.

ⅰ)求实数k的取值范围;

ⅱ)是否存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。

解:(ⅰ将直线。

依题意,直线l与双曲线c的右支交于不同两点,故。

ⅱ)设a、b两点的坐标分别为、,则由①式得。

假设存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f(c,0).

则由fa⊥fb得:整理得。

把②式及代入③式化简得。

2. 设双曲线c:相交于两个不同的点a、b.

i)求双曲线c的离心率e的取值范围:

ii)设直线l与y轴的交点为p,且求a的值。

解:(i)由c与t相交于两个不同的点,故知方程组。

有两个不同的实数解。消去y并整理得

1-a2)x2+2a2x-2a2=0

双曲线的离心率。

ii)设。由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0,3. 已知为椭圆c的两焦点,p为c上任意一点,且向量的夹角余弦的最小值为。

(ⅰ)求椭圆c的方程;

ⅱ)过的直线与椭圆c交于m、n两点,求(o为原点)的面积的最大值及相应的直线的方程。

解:(ⅰ设椭圆的长轴为2a, 又

即。椭圆方程为

ⅱ) 由题意可知nm不可能过原点,则可设直线nm的方程为: 设。

即 . 由韦达定理得:

令, 则。

又令, 易知在[1,+∞上是增函数,所以当,即时有最小值5.

有最大值 ∴的面积有最大值。

直线的方程为。

4. 椭圆e的中心在原点o,焦点在x轴上,离心率=,过点c(1,0)的直线交椭圆于a、b两点,且满足: =

ⅰ)若为常数,试用直线的斜率k(k≠0)表示三角形oab的面积.

ⅱ)若为常数,当三角形oab的面积取得最大值时,求椭圆e的方程.

ⅲ)若变化,且= k2+1,试问:实数和直线的斜率分别为何值时,椭圆e的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆方程.

解:设椭圆方程为(a>b>0),由==及a2= b2c2得a2=3 b2,故椭圆方程为x2+3y2= 3b2

ⅰ)∵直线:y = k(x+1)交椭圆于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,并且= (2),(x11,y1) =1x2,y2),即。

把y = k(x1)代入椭圆方程,得(3k21)x26k2x3k23b2= 0,且 k2 (3b21)b2>0

x1x2x1x2

=|y1y2| =1|·|y2| =k |·x21|.

联立②、③得x21=,=k≠0

当且仅当3| k | 即k =时,取得最大值,此时x1x2= 1.

又∵x11= (x21),x1=,x2= ,代入④得3b2=.此时3b25,的值符合(*)

故此时椭圆的方程为x2+3y2= (2

ⅲ)由②、③联立得:

x1=1,

x2=1,将x1,x2代入④,得=1.

由k2=1得=1

易知,当时,3b2是的减函数,故当时,取得最大值3. 所以,当,k =±1(符合(*)时,椭圆短半轴长取得最大值,此时椭圆方程为x2 3y2 = 3

5. 已知椭圆的中心为坐标原点o,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点,与共线。

(i)求椭圆的离心率;

(ii)设m为椭圆上任意一点,且,证明为定值。

解:(i)设椭圆方程为。

则直线ab的方程为。

化简得。令。

则 共线,得。

ii)证明:由(i)知,所以椭圆可化为。

在椭圆上,即 ①

由(i)知。

又又,代入①得

故为定值,定值为1.

6. 已知椭圆的左焦点为f,o为坐标原点。

i)求过点o、f,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;

ii)设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a、b两点,线段ab的垂直平分线与轴交于点g,求点g横坐标的取值范围。

解:(i)圆过点o、f,圆心m在直线上。

设则圆半径。

由得。解得。

所求圆的方程为。

(ii)设直线ab的方程为。

代入整理得。

直线ab过椭圆的左焦点f,方程有两个不等实根。

记中点。则。

的垂直平分线ng的方程为。

令得。点g横坐标的取值范围为。

7. 已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足。设圆的方程为。

) 证明线段是圆的直径;

)当圆c的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值。

)证明1:

整理得: 设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点,则。

即。整理得:

故线段是圆的直径。

证明2: 整理得:

设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则。

即。去分母得:

点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径。

证明3: 整理得: …1)

以线段ab为直径的圆的方程为。

展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径。

)解法1:设圆c的圆心为c(x,y),则。

又因。所以圆心的轨迹方程为。

设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。

当y=p时,d有最小值,由题设得 .

解法2: 设圆c的圆心为c(x,y),则。

又因。所以圆心的轨迹方程为。

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则。

因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为。

将(2)代入(3)得

解法3: 设圆c的圆心为c(x,y),则。

圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则。

又因 当时,d有最小值,由题设得。

8. 椭圆:的两焦点为,椭圆上存在点使。

1)求椭圆离心率的取值范围;

2)当离心率取最小值时,点到椭圆上的点的最远距离为。

求此时椭圆的方程;

设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,为的中点,问两点能否关于过、的直线对称?若能,求出的取值范围;若不能,请说明理由。

解:(1)设……①

将代入①得求得 ……4分。

2)①时,设椭圆方程为,是椭圆上任一点,则

ⅰ)若,则时, ,此时椭圆方程为7分。

ⅱ)若,则时, ∴矛盾。

综合得椭圆方程为9分。

由得 可求得,由求得,

代入解得 11、(如图)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线。

与ab相交于点d,与椭圆相交于e、f两点.

(1)若,求的值;

(2)求四边形面积的最大值.

11.(ⅰ解:依题设得椭圆的方程为,直线的方程分别为,. 2分。

如图,设,其中,且满足方程,故.①

由知,得;由在上知,得.

所以, 化简得, 解得或. 6分。

(ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为,. 9分。

又,所以四边形的面积为。

当,即当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分。

解法二:由题设,,.设,,由①得,故四边形的面积为。

9分。当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分。

12、已知椭圆的离心率。 直线()与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为.

(1) 求椭圆的方程;

2) 若圆与轴相交于不同的两点,求的面积的最大值。

12、(1)解:∵椭圆的离心率2分。

解得椭圆的方程为4分。

2)解法1:依题意,圆心为.

由得。 ∴圆的半径为. …6分。

圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,,即。

弦长8分。

的面积9分。

12分。当且仅当,即时,等号成立。

∴的面积的最大值为14分。

解法2:依题意,圆心为.

由得。∴ 圆的半径为. …6分。

∴ 圆的方程为.

圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,,即.

在圆的方程中,令,得,∴ 弦长. (资料**:数学驿站 ……8分。

的面积9分

12分。当且仅当,即时,等号成立。 ∴的面积的最大值为.

15、已知椭圆:()的上顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.若有一菱形的顶点、在椭圆上,该菱形对角线所在直线的斜率为.

2023年高考数学最后压轴大题系列 解析几何

2011年高考数学最后压轴大题系列 解析几何。1.已知三点p 5,2 6,0 6,0 求以 为焦点且过点p的椭圆的标准方程 设点p 关于直线y x的对称点分别为 求以 为焦点且过点的双曲线的标准方程。解 i 由题意,可设所求椭圆的标准方程为 其半焦距。故所求椭圆的标准方程为 ii 点p 5,2 6,...

2023年高考数学最后压轴大题系列 解析几何

2011年高考数学最后压轴大题系列 解析几何。1.直线的右支交于不同的两点a b.求实数k的取值范围 是否存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f?若存在,求出k的值 若不存在,说明理由。解 将直线。依题意,直线l与双曲线c的右支交于不同两点,故。设a b两点的坐标分别为 则由 式...

20142023年高考数学最后冲刺大题汇编 高分必备

1.三角函数。1 求值 主要考角的变换 配角,二倍角正逆两用,齐次式,角度相对性 2 图像性质 降幂公式 辅助角公式 五点作图 方法 四大性质 有范围的值域问题。3 正余弦定理 正余弦定理 面积公式 俩公式 向量数量积 测量航海等实际应用问题。4 与二次函数 斜率 圆 椭圆参数方程相关的最值问题。2...