2023年高考导数大题

发布 2021-12-20 09:09:28 阅读 1116

高考导数大题

1.已知函数的最小值为,其中。

ⅰ)求的值;

ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;

ⅲ)证明。2.已知函数满足满足;

1)求的解析式及单调区间;

2)若,求的最大值。

3.已知a>0,br,函数。

ⅰ)证明:当0≤x≤1时,ⅰ)函数的最大值为|2a-b|﹢a;

ⅱ) 2a-b|﹢a≥0;

ⅱ) 若﹣1≤≤1对x [0,1]恒成立,求a+b的取值范围。

4. (本小题满分13分,(ⅰ小问6分,(ⅱ小问7分。)

设其中,曲线在点处的切线垂直于轴。

ⅰ) 求的值;

ⅱ) 求函数的极值。

5.设函数。

1)设, ,证明:在区间内存在唯一的零点;

2)设,若对任意,有,求的取值范围;

3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性。

6. 已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行。

ⅰ)求的值;

ⅱ)求的单调区间;

ⅲ)设,其中为的导函数。证明:对任意。

7.设,曲。

线与直线在(0,0)点相切。

ⅰ)求的值。

ⅱ)证明:当时,.

8.若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数。

的极值点。已知是实数,1和是函数的两个极值点。

1)求和的值;

2)设函数的导函数,求的极值点;

3)设,其中,求函数的零点个数。

9.已知函数=,其中a≠0.

1) 若对一切x∈r,≥1恒成立,求a的取值集合。

2)在函数的图像上取定两点,记直线ab的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由。

10. (已知函数,其中为有理数,且。 求的最小值;

ⅱ)试用(ⅰ)的结果证明如下命题:

设,为正有理数。 若,则;

ⅲ)请将(ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注:当为正有理数时,有求导公式。

11. (不等式、导数)设,集合。

ⅰ)求集合(用区间表示);

ⅱ)求函数在内的极值点。

12.已知函数。

ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;

ⅱ)试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。

13. 设函数。

1)讨论的单调性;

2)设,求的取值范围。

14.已知函数(),

1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;

2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值。

15. (本小题满分13分)设。

)求在上的最小值;

)设曲线在点的切线方程为;求的值。

1. 答案:【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力。

1)的定义域为。

得:时,2)设。

则在上恒成立(*)

当时,与(*)矛盾。

当时,符合(*)

得:实数的最小值为(lfxlby)

3)由(2)得:对任意的值恒成立。

取:当时, 得:(lb ylfx)

当时,得:2. 答案:【解析】(1)

令得: 得:

在上单调递增

得:的解析式为

且单调递增区间为,单调递减区间为

2)得 当时,在上单调递增

时,与矛盾

当时, 得:当时,

令;则 当时,

当时,的最大值为。

3. 答案:【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。

当b≤0时, >0在0≤x≤1上恒成立,

此时的最大值为: =2a-b|﹢a;

当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,

此时的最大值为:

|2a-b|﹢a;

综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a;

ⅱ) 要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤2a-b|﹢a.

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ,令。

当b≤0时, <0在0≤x≤1上恒成立,

此时的最大值为: =2a-b|﹢a;

当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,

|2a-b|﹢a;

综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.

即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。

ⅱ)由(ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a,

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大。

﹣1≤≤1对x [0,1]恒成立,

|2a-b|﹢a≤1.

取b为纵轴,a为横轴。

则可行域为:和,目标函数为z=a+b.

作图如下:

由图易得:当目标函数为z=a+b过p(1,2)时,有,.

所求a+b的取值范围为:.

4. 答案:【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力。

解:(1)因,故

由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即,

从而,解得

2)由(1)知,

令,解得(因不在定义域内,舍去),

当时, ,故在上为减函数;

当时, ,故在上为增函数;

故在处取得极小值。

5. 答案: (1),时, ,在内存在零点。

又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点。

2)当时,

对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ当,即时,

与题设矛盾

ⅱ)当,即时,

恒成立 ⅲ)当,即时,

恒成立。 综上可知,

注:(ⅱ也可合并证明如下:

用表示中的较大者。当,即时,

恒成立 3)证法一设是在内的唯一零点

于是有 又由(1)知在上是递增的,故,

所以,数列是递增数列。

证法二设是在内的唯一零点

则的零点在内,故,

所以,数列是递增数列。

6. 答案:由f(x) =可得,而,即,解得

ⅱ) 令可得,

当时,;当时,.

于是在区间内为增函数;在内为减函数。

1)当时, ,

2)当时,要证。

只需证即可

设函数。 则,

则当时, 令解得,

当时;当时,

则当时,且,

则,于是可知当时成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立。

另证1:设函数,则,

则当时, 于是当时,要证,

只需证即可,

设, ,令解得,

当时;当时,

则当时, 于是可知当时成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立。

另证2:根据重要不等式当时,即,

于是不等式,

设, ,令解得,

当时;当时,

则当时, 于是可知当时成立。

点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点。

相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近。

几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练。本题属于。

中档题。8. 【答案】解:(1)由,得。

1和是函数的两个极值点, ,解得。

2)∵ 由(1)得, ,解得。

当时,;当时, ,

是的极值点。

当或时, ,不是的极值点。

的极值点是-2.

3)令,则。

先讨论关于的方程根的情况:

当时,由(2 )可知,的两个不同的根为i 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2.

当时,∵,一2 , 1,1 ,2 都不是的根。

由(1)知。

当时, ,于是是单调增函数,从而。

此时在无实根。

当时。,于是是单调增函数。

又∵, 的图象不间断,

在(1 , 2 )内有唯一实根。

同理,在(一2 ,一i )内有唯一实根。

当时, ,于是是单调减两数。

又∵, 的图象不间断,

在(一1,1 )内有唯一实根。

因此,当时,有两个不同的根满足;当时

有三个不同的根,满足。

现考虑函数的零点:

i )当时,有两个根,满足。

而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。

11 )当时,有三个不同的根,满足。

而有三个不同的根,故有9 个零点。

综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。

考点】函数的概念和性质,导数的应用。

解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

2)由(1)得, ,求出,令,求解讨论即可。

3)比较复杂,先分和讨论关于的方程根的情况;再考虑函数的零点。

9【解析】(ⅰ若,则对一切,这与题设矛盾,又,

故。 而令

当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当

令则 当时,单调递增;当时,单调递减。

故当时,取最大值。因此,当且仅当即时,①式成立。

综上所述,的取值集合为。

ⅱ)由题意知,

令则 令,则。

当时,单调递减;当时,单调递增。

故当,即 从而,又

所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且。故当且仅当时,.

综上所述,存在使成立。且的取值范围为

点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法。第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈r,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。

10. 考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归。

纳推理能力有较高要求。

解析:(ⅰ令,解得。

当时,所以在内是减函数;

当时,所以在内是增函数。

故函数在处取得最小值。

ⅱ)由(ⅰ)知,当时,有,即 ①

若,中有一个为0,则成立;

若,均不为0,又,可得,于是

在①中令,可得,

即,亦即。

综上,对,为正有理数且,总有。 ②

ⅲ)(中命题的推广形式为:

设为非负实数,为正有理数。

若,则。

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