导数高考大题专题（理科）
例题2011高考：（21）（本小题满分12分）00
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求、的值；
ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
21）解：（ⅰ
由于直线的斜率为，且过点，故即。
解得，。ⅱ）由（ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
i)设，由知，当时，。而，故。
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（0，即f（x）>+
ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
1.已知函数。求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解：（1）当时，对，有。
当时，的单调增区间为。
当时，由解得或；
由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
2）在处取得极大值，由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。
直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。
2.设函数，其中a＞0，曲线在点p（0，）处的切线方程为y=1
ⅰ）确定b、c的值。
ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。
解：（ⅰ由f（x）=
得：f（0）=c，f’（x）=，f’（0）=b。
又由曲线y=f（x）在点p（0，f（0））处的切线方程为y=1，得到f（0）=1，f’（0）=0。
故b=0，c=1。
ⅱ）f（x）=，f’（x）=。
由于点（t，f（t））处的切线方程为。
y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）= f’（t）（-t），化简得。
即t满足的方程为。
下面用反证法证明。
假设f’（）由于曲线y=f（x）在点及处的切线都过点（0,2），则下列等式成立：
由（3）得。
由(1)-(2)得。
又，此时，与矛盾，所以。
ⅲ）由（ⅱ）知，过点(0,2)可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根。
设，则。令＝0得。
列表如下：由的单调性知，要使=0有三个相异的实根，当且仅当，即。
a的取值范围是。
3.设为实数，函数。
(ⅰ)求的单调区间与极值；
ⅱ)求证：当且时，。
i）解：由。
令的变化情况如下表：
故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为。
（ii）证：设。
于是。由（i）知当。
于是当。而。
即。4. 设函数。
ⅰ）当曲线处的切线斜率。
ⅱ）求函数的单调区间与极值；
ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
解析】解：当。
所以曲线处的切线斜率为1.
2）解：，令，得到。
因为。当x变化时，的变化情况如下表：
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得。
因为。若，而，不合题意。
若则对任意的有。
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是，解得 。综上，m的取值范围是。
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