2019高考导数

发布 2021-12-16 11:17:28 阅读 5127

1.[2011·福建卷] 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )

a.2 b.3 c.6 d.9

【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b,∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=0,即12-2a-2b=0,化简得 a+b=6,∵a>0,b>0,∴ab≤2=9,当且仅当a=b=3时,ab有最大值,最大值为9,故选d.

2.[2011·湖南卷] 曲线y=-在点m处的切线的斜率为( )

a.- b. c.- d.

解析】 对y=-求导得到y′==当x=,得到y′==

3.[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xoy中,已知p是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点p处的切线l交y轴于点m,过点p作l的垂线交y轴于点n,设线段mn的中点的纵坐标为t,则t的最大值是___

解析】 设p(x0,y0),则直线l:y-ex0=ex0(x-x0).令x=0,则y=-x0ex0+ex0,与l垂直的直线l′的方程为y-ex0=-(x-x0),令x=0得,y=+ex0,所以t=.

令y=,则y′=-令y′=0得x=1,当x∈(0,1)时,y′>0,当x∈(1,+∞时,y′<0,故当x=1时该函数的最大值为。

4.[2011·安徽卷] 函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图像如图所示,则m,n的值可能是( )

a.m=1,n=1 b.m=1,n=2 c.m=2,n=1 d.m=3,n=1

解析】 由图可知a>0.当m=1,n=1时,f(x)=ax(1-x)的图像关于直线x=对称,所以a不可能;

当m=1,n=2时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x),f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1),所以f(x)的极大值点应为x=<0.5,由图可知b可能.

当m=2,n=1时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3),f′(x)=a(2x-3x2)=-ax(3x-2),所以f(x)的极大值点为x=>0.5,所以c不可能;

当m=3,n=1时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4),f′(x)=a(3x2-4x3)=-ax2(4x-3),所以f(x)的极大值点为x=>0.5,所以d不可能,故选b.

5.[2011·全国卷] 曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )

a. b. c. d.1

解析】 函数y=e-2x+1的导数为y′=-2e-2x,则y′|x=0=-2,曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是2x+y-2=0,直线y=x与直线2x+y-2=0的交点为,直线y=0与直线2x+y-2=0的交点为(1,0),三角形的面积为×1×=,故选a.

6.[2011·山东卷] 函数y=-2sinx的图象大致是( )

图1-2解析】 由f(-x)=-f(x)知函数f(x)为奇函数,所以排除a;又f′(x)=-2cosx,当x在x轴右侧,趋向0时,f′(x)<0,所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数,当x=2π时,f′(2π)=2cos2π=-0,所以x=2π应在函数的减区间上,所以选c.

7.[2011·福建卷] 已知函数f(x)=ex+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点a、b、c,给出以下判断:①△abc一定是钝角三角形;②△abc可能是直角三角形;

△abc可能是等腰三角形;④△abc不可能是等腰三角形.

其中,正确的判断是( )

a.①③b.①④c.②③d.②④

解析】 解法一:(1)设a、b、c三点的横坐标分别为x1,x2,x3(x10, f(x)在(-∞上是增函数,∴ f(x1)∵=x1-x2,f(x1)-f(x2)),x3-x2,f(x3)-f(x2)),x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))<0,∴ abc为钝角,判断①正确,②错;

2)若△abc为等腰三角形,则只需ab=bc,即(x1-x2)2+(f(x1)-f(x2))2=(x3-x2)2+(f(x3)-f(x2))2, x1,x2,x3成等差数列,即2x2=x1+x3,且f(x1)∴△abc不可能是等腰三角形,判断③错误,④正确,故选b.

解法二:(1)设a、b、c三点的横坐标为x1,x2,x3(x1图1-3

f′(x)=ex+1>0, f(x)在(-∞上是增函数,画出f(x)的图象(大致).

f(x1)如图1-2,设直线ab、bc的倾斜角分别为α和β,由0得α<β故∠abc=π-为钝角,判断①正确,②错误;

由x1,x2,x3成等差数列,得x2-x1=x3-x2,若△abc为等腰三角形,只需ab=bc,则。

f(x2)-f(x1)=f(x3)-f(x2),由08.[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售**x(单位:

元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;

2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售**x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解答】 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.

2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3从而f′(x)=10=30(x-4)(x-6).

于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.

所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.

答:当销售**为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

9.设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.[**:学科网]

解答】 函数f(x)的定义域为(0,+∞f′(x)=,当a≠1时,方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0的判别式δ=12(a-1).

当00,f′(x)有两个零点,x1=->0,x2=+,且当0x2时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)与(x2,+∞内为增函数;

当x1②当≤a<1时,δ≤0,f′(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞内为增函数;

当a=1时,f′(x)=>0(x>0),f(x)在(0,+∞内为增函数;

当a>1时,δ>0,x1=->0,x2=+<0,所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1,且当00,f(x)在(0,x1)内为增函数;当x>x1时,f′(x)<0,f(x)在(x1,+∞内为减函数.

f(x)的单调区间如下表:

其中x1=-,x2=+)

10.[2011·江苏卷] 请你设计一个包装盒,如图1-4所示,abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得a、b、c、d四个点重合于图中的点p,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,e、f在ab上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设ae=fb=x(cm).

1)某广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大,试问x应取何值?

2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

解答】 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.

1)s=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,s取得最大值.

2)v=a2h=2 (-x3+30x2),v′=6x(20-x),由v′=0得x=0(舍)或x=20.

当x∈(0,20)时,v′>0;当x∈(20,30)时,v′<0.所以当x=20时,v取得极大值,也是最大值.

此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为。

11.如图,从点p1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点q1(0,1),曲线在q1点处的切线与x轴交于点p2.现从p2作x轴的垂线交曲线于点q2,依次重复上述过程得到一系列点:

p1,q1;p2,q2;…;pn,qn,记pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).

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