1.[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
a．2 b．3 c．6 d．9
【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，∵a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选d.
2.[2011·湖南卷] 曲线y＝－在点m处的切线的斜率为( )
a．－ b. c．－ d.
解析】 对y＝－求导得到y′＝＝当x＝，得到y′＝＝
3.[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xoy中，已知p是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点p处的切线l交y轴于点m，过点p作l的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是___
解析】 设p(x0，y0)，则直线l：y－ex0＝ex0(x－x0)．令x＝0，则y＝－x0ex0＋ex0，与l垂直的直线l′的方程为y－ex0＝－(x－x0)，令x＝0得，y＝＋ex0，所以t＝.
令y＝，则y′＝－令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，当x∈(1，＋∞时，y′<0，故当x＝1时该函数的最大值为。
4.[2011·安徽卷] 函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( )
a．m＝1，n＝1 b．m＝1，n＝2 c．m＝2，n＝1 d．m＝3，n＝1
解析】 由图可知a＞0.当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)的图像关于直线x＝对称，所以a不可能；
当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)，所以f(x)的极大值点应为x＝＜0.5，由图可知b可能．
当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝－ax(3x－2)，所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以c不可能；
当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)，所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以d不可能，故选b.
5.[2011·全国卷] 曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
a. b. c. d．1
解析】 函数y＝e－2x＋1的导数为y′＝－2e－2x，则y′|x＝0＝－2，曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是2x＋y－2＝0，直线y＝x与直线2x＋y－2＝0的交点为，直线y＝0与直线2x＋y－2＝0的交点为(1,0)，三角形的面积为×1×＝，故选a.
6.[2011·山东卷] 函数y＝－2sinx的图象大致是( )
图1－2解析】 由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，所以排除a；又f′(x)＝－2cosx，当x在x轴右侧，趋向0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝2cos2π＝－0，所以x＝2π应在函数的减区间上，所以选c.
7.[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点a、b、c，给出以下判断：①△abc一定是钝角三角形；②△abc可能是直角三角形；
△abc可能是等腰三角形；④△abc不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是( )
a．①③b．①④c．②③d．②④
解析】 解法一：(1)设a、b、c三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x10， f(x)在(－∞上是增函数，∴ f(x1)∵＝x1－x2，f(x1)－f(x2))，x3－x2，f(x3)－f(x2))，x1－x2)(x3－x2)＋(f(x1)－f(x2))(f(x3)－f(x2))<0，∴ abc为钝角，判断①正确，②错；
2)若△abc为等腰三角形，则只需ab＝bc，即(x1－x2)2＋(f(x1)－f(x2))2＝(x3－x2)2＋(f(x3)－f(x2))2， x1，x2，x3成等差数列，即2x2＝x1＋x3，且f(x1)∴△abc不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选b.
解法二：(1)设a、b、c三点的横坐标为x1，x2，x3(x1图1－3
f′(x)＝ex＋1>0， f(x)在(－∞上是增函数，画出f(x)的图象(大致)．
f(x1)如图1－2，设直线ab、bc的倾斜角分别为α和β，由0得α<β故∠abc＝π－为钝角，判断①正确，②错误；
由x1，x2，x3成等差数列，得x2－x1＝x3－x2，若△abc为等腰三角形，只需ab＝bc，则。
f(x2)－f(x1)＝f(x3)－f(x2)，由08.[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售**x(单位：
元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售**x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解答】 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售**为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
9.设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．[**：学科网]
解答】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞f′(x)＝，当a≠1时，方程2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1＝0的判别式δ＝12(a－1).
当00，f′(x)有两个零点，x1＝－>0，x2＝＋，且当0x2时，f′(x)>0，f(x)在(0，x1)与(x2，＋∞内为增函数；
当x1②当≤a<1时，δ≤0，f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞内为增函数；
当a＝1时，f′(x)＝>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞内为增函数；
当a>1时，δ>0，x1＝－>0，x2＝＋<0，所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1，且当00，f(x)在(0，x1)内为增函数；当x>x1时，f′(x)<0，f(x)在(x1，＋∞内为减函数．
f(x)的单调区间如下表：
其中x1＝－，x2＝＋)
10.[2011·江苏卷] 请你设计一个包装盒，如图1－4所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a、b、c、d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设ae＝fb＝x(cm)．
1)某广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？
2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解答】 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
1)s＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，s取得最大值．
2)v＝a2h＝2 (－x3＋30x2)，v′＝6x(20－x)，由v′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，v′＞0；当x∈(20,30)时，v′＜0.所以当x＝20时，v取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为。
11.如图，从点p1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点q1(0,1)，曲线在q1点处的切线与x轴交于点p2.现从p2作x轴的垂线交曲线于点q2，依次重复上述过程得到一系列点：
p1，q1；p2，q2；…；pn，qn，记pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
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