2、填空题。
62.（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是。
答案】．解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．
当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得．于是实数的取值范围是．
解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．
因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．
解得．于是实数的取值范围是．
解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．
63.（天津理16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是。
答案】．解析】解法１．不等式化为，即。
整理得，因为，所以，设，．
于是题目化为，对任意恒成立的问题．
为此需求，的最大值．设，则．
函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．
所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．
解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．
为此需求，的最大值．
设，则．．因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．
从而有最大值．所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．
解法3．不等式化为，即。
整理得，令．
由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，即实数应满足。
解得，因此实数的取值范围是．
解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，恒成立，则对，不等式也成立，把代入上式得，即。
因为，上式两边同乘以，并整理得。
即，所以，解得或，因此实数的取值范围是．
65.（四川理16）函数的定义域为a，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：
函数（xr）是单函数；
若为单函数，且，则；
若f：a→b为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．
其中的真命题是写出所有真命题的编号）
答案】②③解析】对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
76.（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是。
答案】80.（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点p是函数的图象上的动点，该图象在p处的切线交y轴于点m，过点p作的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是。
答案】解析】设则，过点p作的垂线。
所以，t在上单调增，在单调减，.
本题主要考查指数运算，指数函数图象、导数的概念，导数公式，导数的运算与几何意义、利用导数研究函数，导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力，综合应用有关知识的能力，本题属难题。
85.（北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___
答案】解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。
三、解答题。
87.（安徽理16）设，其中为正实数。
ⅰ）当时，求的极值点；
ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
解：对求导得 ①
（i）当，若。
综合①,可知。
所以，是极小值点，是极大值点。
（ii）若为r上的单调函数，则在r上不变号，结合①与条件a>0，知。
在r上恒成立，因此由此并结合，知。
88.（北京理18）已知函数。
1)求的单调区间；
2)若对，，都有，求的取值范围。
解：(1)，令得。
当时，在和上递增，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增。
2) 当时，；所以不可能对，都有；
当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有。
即，故对，都有时，的取值范围为。
89.（北京文18）已知函数，（i）求的单调区间；
ii）求在区间上的最小值。
解：（i），令；所以在上递减，在上递增；
ii）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（i）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当时，函数在区间上递减，所以。
90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售**(单位：
元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售**为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若该商品的成品为3元/千克， 试确定销售**的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(ⅰ因为时，所以；
ⅱ)由(ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：
令得。函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值。
答：当销售**时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。
ⅰ）求实数b的值；
ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和m（m＜m），使得对每一个t∈[m，m]，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数m；若不存在，说明理由。
解：（ⅰb＝2；（ⅱa＞0时单调递增区间是（1，＋∞单调递减区间是（0，1），a＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞存在m，m；m的最小值为1，m的最大值为2。
92.（广东理21）
2）设是定点，其中满足。过作的两条切线，切点分别为，与分别交于。线段上异于两端点的点集记为。证明：
解：（１直线ab的方程为，即，方程的判别式，两根或，，又，得，２）由知点在抛物线l的下方，当时，作图可知，若，则，得；
若，显然有点； ．
当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；
若，显然有点；
根据曲线的对称性可知，当时，综上所述，（*
由（１）知点m在直线ef上，方程的两根或，同理点m在直线上，方程的两根或，若，则不比、、小，又，又由（１）知，；
综合（*）式，得证．
３）联立，得交点，可知，过点作抛物线l的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，设，又，；，93.（广东文19） 设，讨论函数的单调性．
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞
综上所述，f(x)的单调区间如下表：
其中）94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：
辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
ⅰ）当时，求函数的表达式；
ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。
解析：（ⅰ由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得。
故函数的表达式为=
ⅱ）依题意并由（ⅰ）可得。
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．
综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
95.（湖北理21）（ⅰ已知函数，，求函数的最大值；
ⅱ）设…，均为正数，证明：
1）若……，则；
2）若…=1，则…+。
解：（ⅰ的定义域为，令，在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值。
ⅱ）（1）由（ⅰ）知当时有即，，∴
∴即。2）①先证，令，则。
由（1）知。
再证…+，记。
则于是由（1）得。
所以…+。综合①②，2）得证。
96.（湖北文20）设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。
i) 求a、b的值，并写出切线的方程；
ii)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。
解：(i)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；
切线的方程：‘
ii)由(i)得，依题意得：方程有三个互不相等的根。
故是方程的两个相异实根，所以；
又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：
又。所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。
97.（湖南文22）设函数。
i)讨论的单调性；
ii）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解析：（i）的定义域为。
令。当故上单调递增．
当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
ii）由（i）知，．
因为，所以。
又由(i)知，．于是。
若存在，使得则．即．亦即[**： ]
再由（i）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得。
98.（湖南理20）如图6，长方形物体e在雨中沿面p（面积为s）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿e移动方向的分速度为。e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
（1）p或p的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×s成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为e移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积s=时。
ⅰ）写出的表达式。
ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
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一 选择题 1.2012年辽宁文 函数的单调递减区间为。abcd.2.2012福建理 如图所示，在边长为1的正方形中任取一。点，则点恰好取自阴影部分的概率为。abcd.3.2012年陕西理 设函数，则。a.为的极大值点b.为的极小值点 c.为的极大值点d.为的极小值点。4.2012年江西理 计算定积...
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典例剖析。例1 已知实数a满足1 a 2，设函数f x x3 x2 ax 当a 2时，求f x 的极小值 若函数g x 4x3 3bx2 6 b 2 x b r 的极小值点与f x 的极小值点相同，求证 g x 的极大值小于等于10 解 当a 2时，f x x2 3x 2 x 1 x 2 列表如下 ...
导数高考常考题型训练
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