众所周知，导数问题一直是高考数学中的热点问题，在高考数学试卷的最后大题中总能看到它的身影，这样有关导数的综合问题就成了高考数学中最具挑战性的问题之一．
自从高中教材引入导数，很多函数问题的解决就离不开它．应用导数去研究函数进而解决一些方程和不等式的问题，成为近几年高考命题的重点和热点，同时也是许多同学的难点．许多同学遇到这类问题感到“一筹莫展，无从下手”，很难找到解题的突破口．为此，本文帮助同学们回归本源，把握本质，就导数在函数中的“四大应用八大题型”，通过题组训练，各个击破，让导数难题显出原形．
应用之一：导数与切线。
一个原理】，即曲线在点处的切线斜率等于函数在处的导数值．
两大题型】题型1：曲线在点处的切线问题。
例1 已知函数，当时，求曲线在处的切线方程．
解析：当时，，又切点坐标为，切线斜率，故切线方程为．
题型2：曲线过点的切线问题。
例2 已知曲线，过点作该曲线的切线，求切线方程．
解析：设切点坐标为，，．
由点斜式方程得，．又过点，有。
解得．故切线方程为．
给力对策】对于题型1，在点处，此时点就是切点，只要抓住上述原理，利用点斜式方程即可，这里要注意利用切点既在曲线上，又在切线上的双重身份；对于题型2，此时的点不一定为切点了，所以在解决此类问题时要先设切点，根据上述原理写出切线方程，然后再将点代入切线方程即可求之．
题组训练】1、求曲线在点处的切线方程；
2、已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程；
3、已知函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
4、设函数，若曲线在点处与直线相切，求的值；
5、已知函数 ．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
6、已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是，求函数的解析式；
7、已知函数，设点p在曲线上，若该曲线在点p处的切线l通过原点，求切线l的方程；
评析】该题组的第1-2题考查求切线的方程，利用点斜式，而斜率就是该切点横坐标的导数值；第3-6题已知切线方程了，求待定系数值，这里要注意利用切点既在曲线上，又在切线上的双重身份；第7题为曲线过点的切线问题。
应用之二：导数与单调性。
一个原理】函数的导函数在区间上大于0，则函数在区间上为增函数；函数的导函数在区间上小于0，则函数在区间上为减函数．注意，在某些孤立的点处导数值为0不影响其单调性．
两大题型】题型3：求函数的单调区间。
例3 已知函数，求的单调区间．
解析：，．当时，恒大于0，故在r上单调增；
当时，．此时，．
综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；当时，的单调增区间为，单调减区间．
草图助解】本题的重点是为什么要对与分类讨论，这里可以从画的草图找到分类的标准，因为我们会画指数函数的图象，观察图象知当时，的草图都位于轴上方即恒大于0，当时，的草图穿过轴即有正有负，进而容易得出单调区间．强调一下，我们要先求出定义域，然后在定义域内讨论函数的单调性．
题型4：已知函数在某个区间上的单调情况，求参数的取值范围。
例4 已知函数在内单调递增，求的范围．
解析：由于函数在内单调递增，所以在上恒成立．
即在上恒成立，所以，解得．验证端点处的值时不恒为0，故符合题意．所以的取值范围是．
给力对策】对于题型3，利用导数法求函数单调区间的一般流程是先求定义域，再求，然后再判断的正负．尤其是对含参函数的单调性讨论是高考的重点和热点，这里要注意讨论的标准，可以根据的草图去帮助分类讨论．对于题型4，若函数在区间d上是单调增（或减）的，则（或）在区间d上恒成立．将此类问题转化为恒成立问题来求解，但这里需要注意的是最后要验证端点处在区间d上不恒为0．
题组训练】1.设函数，求函数的单调区间。
2.已知函数，讨论的单调性。
3.已知函数，讨论的单调性。
4.设函数，其中常数， 讨论f(x)的单调性。
5.已知函数在内单调递减，求实数的取值范围。
6.已知函数 ．若函数在区间上不单调，求的取值范围。
7.已知函数，其中，已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。
评析】该题组的第1题是求一个确定函数的单调区间问题，该类问题要注意先求定义域，然后求导，然后定号得出区间；第2-4题是对含参函数单调性问题的讨论，这里可以利用的草图来帮助分类讨论，主要是看图象位于轴上方还是下方即确定了的正负；第5-7题是针对题型4设计的，第5题要注意验证端点值．
应用之三：导数与极值。
一个原理】从数的角度看，可导函数若满足，且在附近异号，就是的极值点．从形的角度看，函数在定义域内由减变增或由增变减，就产生了极值，即函数在增减交替处取得极值（波峰处为极大值点，波谷处为极小值点）.
两大题型】题型5：求函数的极值。
例5 已知函数，当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由．
解析：当时，令，则由可知在上单调增，又．可知当时，，即，所以在上单调减；当时，，即，所以在上单调增．故函数存在极小值为．
题型6：已知函数的极值情况，求参数的取值范围。
例6 函数在处有极值10，求的值．
解析：由题意可知，，解得或．
当时，在附近符号相同，所以当时，不是函数的极值点．而当时，在附近符号相反．故．
给力对策】对于题型5，求函数极值的本质就是判断函数的单调性，然后绘出草图，就很容易看出极值点，难点在于判断的正负，如例5进行了两次求导后才判断出的符号．对于题型6，利用好极值点处的导数值为0，但要注意导数值为0的地方不一定是极值点，所以最后要检验在附近的符号相反．
题组训练】1．设函数，，求函数的极值．
2．已知函数。设，求函数的极值．
3. 已知函数，若为的极值点，求的值．
4.已知为偶函数，曲线过点，．当时函数取得极值，确定的单调区间．
5．已知函数其中实数，若在处取得极值，试讨论的单调性．
6．已知函数，其中，当满足什么条件时，取得极值？
评析】该题组的第1-2题为求一个函数的极值问题，与题型3的本质一样；第3-6题为已知函数的极值情况，求参数的取值范围．
应用之四：导数与最值。
一个原理】函数在某个区间上的最高点的纵坐标为最大值， 最低点的纵坐标为最小值，若没有最高点或最低点，则说明函数在该区间上不存在最大值或最小值．
两大题型】题型7：求函数在某个区间上的最值。
例7 已知函数，求函数在上的最小值．
解析：．由得．当时，，为减函数；当时，，为增函数；
当，即时，在上为增函数，；
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，；
当，即时，在上为减函数，．
综上所述，．
题型8 已知函数的最值情况，求参数的值或范围。
例8 已知函数，是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
解析：，因为，所以。
当，即时，在上为减函数，，解得，故不满足条件；
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，，解得，故不满足条件；
当，即时，在上为增函数，，故也不满足条件．
综上所述，不存在满足条件的实数．
给力对策】对于题型7，利用导数法判断出函数在这个区间上的单调情况，即可绘出它的草图，即可容易看出它在某个区间上的最值点，进而求出最值。对于题型8的解决如同题型7，注意对参数的讨论。在高考试题中直截了当考查函数最值的题目很少，常见的考查方式有恒成立问题，两图象的交点个数（方程根的个数）问题等，他们都是要通过转化为求最值来解决(如证明不等式或方程根的问题，题目中没有明确给出函数，我们要学会自己构造适当的函数，通过函数来解决有关不等式或方程的问题)．如在上恒成立，即转化为．再如函数与函数有两个交点（方程在上有两个不同实根），即转化为上最值情况，主要是利用单调性绘出它的草图，一切问题便迎刃而解！
题组训练】1.已知函数(其中常数),是奇函数。 讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值。
2.已知函数，其中。 若在区间上，恒成立，求的取值范围。
3.设函数。若在上的最大值为，求的值。
4. 设函数。
1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
5. 设函数，已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。
6.已知函数。设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围。
评析】该题组的六个题目都是考查函数最值的几种常见题型，尤其是恒成立问题，常考常新，希望同学们在解决的过程中去体会他的奥妙．
通过以上对导数的四大应用八大题型的逐一训练分析，同学们在解决此类问题时一定要注意通解通法，抓住函数的草图这个本质思想，要记住，学函数的最高境界就是函数图象，这样就能熟练地驾驭以上四个题组．此时，我们再回过头来看看，曾经让我们头疼的导数大题，原来也不过如此，题组训练帮助我们将导数难题显出原形．
导数常考题型
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五 函数与导数常考题型
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导数常考题型总结 中难题
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