导数部分近年高考题。
2023年(20) （本小题满分13分）
设函数，其中为常数。
ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；
ii）讨论函数的单调性。
2023年 (21)(本小题满分12分)
已知函数。ⅰ)设，求的单调区间。
(ⅱ)设，且对于任意，。试比较与的大小。
2023年(22) (本小题满分13分)
已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行。
ⅰ)求k的值；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ)设，其中为的导函数。证明：对任意。
2023年 21、（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元。设该容器的建造费用为千元。
ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
求该容器的建造费用最小值。
时的。2023年（21）（本小题满分12分）
已知函数。（i）当时，求曲线在点处的切线方程；
（ii）当时，讨论的单调性。
2023年21.（本小题满分12分）
已知函数，其中。
1） 当满足什么条件时，取得极值？
2） 已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。
答案解析。2023年【解析】(1)
2023年解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞得f′(x)＝.
当a＝0时，f′(x)＝.若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞若b＞0，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是。
当a＞0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.
由δ＝b2＋8a＞0得。
x1＝，x2＝.
显然，x1＜0，x2＞0.
当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是。
综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞
当a＝0，b＞0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是。
2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故＝1，整理得2a＋b＝1，即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
因此g(x)≤＝1＋＝1－ln 4＜0，故g(a)＜0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a＜0，即ln a＜－2b.
2023年22.【答案】(i)，由已知，，∴
ii)由(i)知，.
设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而。
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是。
iii)由(ii)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立。当时，＞1，且，∴.
设，，则，当时，，当时，所以当时，取得最大值。
所以。综上，对任意，.
2023年21.【解析】考查函数应用、数学建模能力，导数应用等，中档题。
解：（ⅰ因为容器的体积为立方米，所以，解得，所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为，所以+,定义域为(0,).
ⅱ）因为+=,所以令得：; 令得：,所以米时， 该容器的建造费用最小。
2023年21. 【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。
解析】解：（ⅰ当。
所以因此，
即曲线又 所以曲线。
（ⅱ）因为 ，所以 ，令
（1）当。所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递。
（2）当即，解得。
①当时，恒成立，此时，函数在（0，+∞上单调递减；
②当。时，单调递减；
时，单调递增；，此时，函数单调递减；
③当时，由于。
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：当时，函数在（０，上单调递减；
函数在（１，上单调递增；
当时，函数在（0，+∞上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，2023年21. 解： (1)由已知得，令，得，要取得极值，方程必须有解，所以△,即， 此时方程的根为。
,所以。当时，所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值。
当时，所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值。
综上，当满足时，取得极值。
2)要使在区间上单调递增，需使在上恒成立。
即恒成立， 所以。
设， ,令得或(舍去),当时， ,当时，单调增函数；
当时，单调减函数，所以当时，取得最大，最大值为。
所以。当时， ,此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，当时最大，最大值为，所以。
综上，当时，;当时，
命题立意】:本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值。运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题。
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