2023年高考题分章节汇编。
选修ⅱ第三章导数。
一、选择题。
1．(2023年高考·广东卷6)函数是减函数的区间为 （ d ）
a． b． c． d．（0，2）
2．(2023年高考·湖北卷·理9)若的大小关系 （ d ）
a． b． c． d．与x的取值有关。
3．(2023年高考·湖北卷·文11)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是d ）
a．3 b．2 c．1 d．0
4．(2023年高考·湖南卷·理6)设f0(x) ＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x) ＝fn′(x)，n∈n，则f2005(xc）
a．sinx b．－sinx c．cosx d．－cosx
5．(2023年高考·江西卷·理7)已知函数，下面四个图象中的图象大致是 （ c ）
6．(2023年高考·全国卷ⅰ·文3)函数已知时取得极值，则ab ）
a．2 b．3 c．4 d．5
二、填空题。
1．(2023年高考·北京卷·理12)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为切线的斜率为1，e） e
2．(2023年高考·重庆卷·理12)曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为。
3．(2023年高考·重庆卷·文12)曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 .
4．(2023年高考·江苏卷14)曲线在点（1，3）处的切线方程是。
5．(2023年高考·全国卷ⅲ·文15)曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
三、解答题。
1．（本小题共13分）(2023年高考·北京卷·理15文19)
已知函数。（ⅰ）求的单调减区间；
ⅱ）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
解：（i）令，解得。
所以函数的单调递减区间为。
ii）因为。
所以。因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在。
－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间[－2，2]上的最大值和。
最小值。于是有，解得。
故因此。即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7.
2．（本小题满分12分）(2023年高考·福建卷·理19)
已知函数的图象在点m（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间。
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力。满分12分。
解：（1）由函数f(x)的图象在点m（－1f(－1)）处的切线方程为x+2y+5=0，知。
3．（本小题满分12分）(2023年高考·福建卷·文20)
已知函数的图象过点p（0，2），且在点m（－1，f（－1））处的切线方程为。
（ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）求函数的单调区间。
本小题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决。
问题的能力。 满分12分。
解：（ⅰ由的图象经过p（0，2），知d=2，所以。
由在处的切线方程是，知。
故所求的解析式是。
解得当。当。
故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数。
4．（本小题满分12分）(2023年高考·湖北卷·理17文17)
已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。
本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。
解法1：依定义。
开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立。
解法2：依定义。
的图象是开口向下的抛物线，5．（本小题满分14分）(2023年高考·湖南卷·文19)
设，点p（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线。
ⅰ）用表示a，b，c；
ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。
解：（i）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即。因为所以。
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以。
而。将代入上式得因此故，，
ii）解法一。
当时，函数单调递减。
由，若；若。
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则。
所以。又当时，函数在（－1，3）上单调递减。
所以的取值范围为。
解法二： 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）
上的抛物线，所以即解得。
所以的取值范围为。
6．（本小题满分14分）(2023年高考·湖南卷·理21)
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（ⅱ）设函数f(x)的图象c1与函数g(x)图象c2交于点p、q，过线段pq的中点作x轴的。
垂线分别交c1，c2于点m、n，证明c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不。
平行。解：（i），则。
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解。
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解。
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根。此时，－1 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞
（ii）证法一设点p、q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 则点m、n的横坐标为。
c1在点m处的切线斜率为。
c2在点n处的切线斜率为。
假设c1在点m处的切线与c2在点n处的切线平行，则k1=k2.
即，则。所以设则①
令则。因为时，，所以在）上单调递增。 故。
则。 这与①矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
证法二：同证法一得。
因为，所以。
令，得 ②令。
因为，所以时，
故在[1，+上单调递增。从而，即。
于是在[1，+上单调递增。
故即这与②矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
7．（本小题满分12分）(2023年高考·辽宁卷22)
函数在区间（0，+∞内可导，导函数是减函数，且设。
是曲线在点（）得的切线方程，并设函数。
（ⅰ）用、、表示m；
（ⅱ）证明：当；
（ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系。考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力。满分12分。
（ⅰ）解2分。
（ⅱ）证明：令。
因为递减，所以递增，因此，当；
当。所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的。
最小值为0，因此即6分。
（ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。
对任意成立的充要条件是。
另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（ii）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为。
于是的充要条件是10分。
综上，不等式对任意成立的充要条件是。
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式②
有解、解不等式②得。
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系。……12分。
ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。
对任意成立的充要条件是。
8分。令，于是对任意成立的充要条件是。
由。当时当时，，所以，当时，取最小值。因此成立的充要条件是，即………10分。
综上，不等式对任意成立的充要条件是。
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得。
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系。……12分。
8．（本小题满分13分）(2023年高考·重庆卷·理19)
已知，讨论函数的极值点的个数。
1）当。即此时有两个极值点。
2）当有两个相同的实根。
于是。无极值。
为增函数，此时无极值。 因此当无极值点。
9．（本小题满分13分）(2023年高考·重庆卷·文19)
设函数r.（1）若处取得极值，求常数a的值；
（2）若上为增函数，求a的取值范围。
解：（ⅰ因取得极值， 所以解得。
经检验知当为极值点。
ⅱ）令。当和上为增。
函数，故当上为增函数。
当上为增函。
数，从而上也为增函数。
综上所述，当上为增函数。
10．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）(2023年高考·江苏卷22)
已知，函数。
ⅰ）当时，求使成立的x的集合；
ⅱ）求函数在区间[1，2]上的最小值。
22）（ⅰ由题意，
当时，由，解得或；
当时，由，解得。
综上，所求解集为。
ⅱ)设此最小值为。
当时，在区间[1，2]上，因为，则是区间[1，2]上的增函数，所以。
当时，在区间[1，2]上，，由知。
当时，在区间[1，2]上，
若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以。
若，则。当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或。
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