一、选择题：
1.（2023年辽宁文）函数的单调递减区间为。
abcd.
2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形中任取一。
点，则点恰好取自阴影部分的概率为。
abcd.
3.（2023年陕西理）设函数，则。
a. 为的极大值点b. 为的极小值点
c. 为的极大值点d. 为的极小值点。
4.（2023年江西理）计算定积分。
5.（2023年江西文）设函数，则。
a. 为的极大值点b. 为的极小值点。
c. 为的极大值点d. 为的极小值点。
6.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则。
a. 或2b. 或3c. 或1d. 或1
7.（2012重庆理）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是。
a.函数有极大值和极小值
b.函数有极大值和极小值。
c.函数有极大值和极小值。
d.函数有极大值和极小值。
8.（2012重庆文）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是。
9.（2023年新课标理）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为。
abcd.
变式设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为。
abcd.
10.（2023年湖南文）设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导数，当时，；当且时，.则函数在上的零点个数为。
a.2b.4c.5d.8
11.（2023年辽宁理）若，则下列不等式恒成立的是。
a. b. c. d.
12.（2023年福建文）已知，且。现给出如下结论：
其中正确结论的序号是。
abcd.②④
13.（2012山东文）设函数，，若的图象与的图象有且只有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是。
ab. ，cd. ，
13.（2012全国大纲理）已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则。
a. 或2b. 或3c. 或1d. 或1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2012新课标文）曲线在点处的切线方程为。
14.（2023年广东理）曲线在点处的切线方程为。
15.（2023年山东理）设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则 .
16.（2023年浙江理、文）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离。已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数 .
16.（2023年江西理）计算定积分 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17.（2023年新课标文）设函数。
1）求的单调区间；
2）若，为整数，且当时，，求的最大值。
18.（2023年新课标理）已知函数。
1）求的解析式及单调区间；
2）若，求的最大值。
19.（2023年江苏理）已知是实数，1和是函数的两个极值点。
1）求和的值；（2）设函数的导数，求的极值点；
3）设，其中，求函数的零点个数。
20.（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。
1）求的值；（2）求的单调区间；
3）（理）设，其中为的导函数，证明：对任意，.
文）设，其中为的导函数，证明：对任意，.
21.（2023年安徽理）设函数。
1）求在内的最小值；
2）设曲线在点处的切线方程为，求的值。
变式 （2023年安徽文）设定义在上的函数。
1）求的最小值；
2）设曲线在点处的切线方程为，求的值。
22.（2023年浙江理）已知，，函数。
1）证明：当时，①函数的最大值为；②.
2）若对恒成立，求的取值范围。
23.（2023年浙江文）已知，函数。
1）求的单调区间；
2）证明：当时，.
24.（2023年辽宁理）设（，为常数），曲线与直线在点相切。
1）求的值；（2）证明：当时，.
25.（2023年辽宁文）设。证明：
1）当时，；
2）当时，.
26.（2023年福建理）已知函数。
1）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
2）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
27.（2012福建文）已知函数，且在上的最大值为。
1）函数的解析式；
2）判断函数在内的零点个数，并加以证明。
28.（2012天津理）已知函数的最小值为0，其中。
1）求的值；（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
3）证明：.
29.（2012天津文）已知函数，其中。
1）求函数的单调区间；
2）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；
3）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值。
30.（2012陕西理）设函数。
1）设，，，证明：在区间内存在唯一零点；
2）设，若对任意，有，求的取值范围；
3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
30.（2012陕西文）设函数。
1）设，，，证明：在区间内存在唯一零点；
2）设为偶数，，，求的最小值和最大值；
3）设，若对任意，有，求的取值范围。
31.（2012湖南理）已知函数，其中。
1）对一切，恒成立，求的取值范围；
2）在函数的图象上取定两点，，记直线的斜率为。问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
32.（2012湖南文）已知函数，其中。
1）对一切，恒成立，求的取值集合；
2）在函数的图象上取定两点，，记直线的斜率为。证明：存在，使成立。
33.（2012北京理）已知函数，.
1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
34.（2012北京文）已知函数，.
1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
2）当，时，求函数在区间上的最大值为28，求的取值范围。
35.（2012江西理）若函数满足①，；对任意，有；③在上单调递减。
则称为补函数。已知函数。
1）判断函数是否为补函数，并证明你的结论；
2）若存在，使，称是函数的中介元。记时的中介元为，且对任意的，都有，求的取值范围；
3）当，时，函数的图象总在直线的上方，求的取值范围。
36.（2012江西文）已知函数在上单调递减且满足，.
1）求的取值范围；
2）设，求在上的最大值和最小值。
37.（2012湖北理）（1）已知函数，其中为有理数，且。求的最小值；
2）试用（1）的结果证明如下命题：
设，，为正有理数。 若，则；
3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：当为正有理数时，有求导公式。
38.（2012湖北文）设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为。
1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：.
39.（2012大纲理）设函数。
1）讨论的单调性；
2）设，求的取值范围。
40.（2012全国大纲文）已知函数。
1）讨论的单调性；
2）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。
41.（2012四川理）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点。设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
1）用和表示；
2）求对所有都有成立的的最小值；
3）当时，比较与的大小，并说明理由。
42.（2012四川文）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点。设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
1）用和表示；
2）求对所有都有成立的的最小值；
3）当时，比较与的大小，并说明理由。
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