【原题11】判断函数的奇偶性。
错误分析】：∵
∴ ∴是偶函数。
答案】：既不是奇函数也不是偶函数。
解析】：有意义时必须满足即函数的定义域是｛｜｝由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。
易错点点睛】对函数奇偶性定义实质理解不全面。对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称。
这是函数具备奇偶性的必要条件。
原题12】函数y=的单调增区间是___
错误分析】：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是。
答案】：解析】：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是。
易错点点睛】在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误。
原题13】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围。
错误分析】：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)= f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3
答案】：{x|2【解析】：由，故0∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2【易错点点睛】只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域。
原题14】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0【错误分析】：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。
对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高。 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点。
答案】：见解析。
解析】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数。
2)先证f(x)在(0，1)上单调递减。令0∵00,1－x1x2>0，∴ 0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数。
易错点点睛】对于抽象函数函数性质的讨论、计算和证明，解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。
原题15】求函数的单调区间。
原题16】已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是
错误分析】：∵是由，复合而成，又＞0
∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1
答案】：1＜＜2
解析】：∵是由，复合而成，又＞0
∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，∴＞1
又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2
易错点点睛】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义。
原题17】已知函数f(x)=,其中为常数，若当x∈(－1］时， f(x)有意义，求实数a的取值范围。
错误分析】：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
答案。解析】：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0, ∴1+2x+4x·a>0, a>,当x∈(－1]时， y=与y=都是减函数， y=在(－∞1]上是增函数， max=－,a>－,故a的取值范围是(－,
易错点点睛】发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现。本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围。此法也叫主元法。
原题18】已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围。
错误分析】：（一）恒成立，∴△0恒成立解得的取值范围为。
二）∵若时，≥0恒成立。
即解得的取值范围为。
答案】：－7≤≤2
解析】：设的最小值为。
1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4综上，得－7≤≤2
易错点点睛】对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0
片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为。
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误。二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论。
原题19】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围。
错误分析】：设∵有且只有一根在区间（0,1）内。
得＜－2 答案】：＜2
解析】：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件。
2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内又＝1＞0
∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在。
综上所得，＜－2
易错点点睛】对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一。对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立。 但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能。
如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况。
由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是。
原题20】是否存在这样的实数k，使得关于x的方程2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由。
错误分析】：令那么由条件得到。
即此不等式无解即不存在满足条件的k值。
答案】：不存在。
解析】：令那么由条件得到。
即即此不等式无解即不存在满足条件的k值。
易错点点睛】方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内。
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