函数与导数专题

数学专题14：导数。

一、选择题。

1 ．（2023年高考课标ⅱ卷（文11））已知函数，下列结论中错误的是（）

a），b）函数的图象是中心对称图形。

c）若是的极小值点，则在区间单调递减。

d）若是的极值点，则。

答案】c解析】若则有，所以a正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为，所以b正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞单调递减是错误的，d正确。

选c.2 ．（2023年高考大纲卷（文10））已知曲线（

a． b． c． d．

答案】d 解析】，所以，所以，故选d.

3 ．（2023年高考湖北卷（文））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

a． b． c． d．

答案】b 解析】本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。函数的定义域为，导数为，要使函数有两个极值点，则有两个根。由得，令，当直线与相切是的斜率为，则满足条件。

，由，得切点横坐标。此时，解得，即，所以此时切线斜率为，所以，即，选b.

4 ．（2023年高考福建卷（文））设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（

a． b．是的极小值点

c．是的极小值点 d．是的极小值点。

答案】d 解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，a错误；因为和关于原点对称，故是的极小值点，d正确．

5 ．（2023年高考安徽（文））已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（

a．3 b．4 c．5 d．6

答案】a 解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，根据已知，得3x2＋2ax＋b＝0有两个不同的实根x1，x2，且x16 ．（2023年高考浙江卷（文8））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是。

答案】b 解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选b

二、填空题 7 ．（2023年高考广东卷（文））若曲线在点处的切线平行于轴，则。

答案】解析】本题考查切线方程、方程的思想。依题意所以。

8 ．（2023年高考江西卷（文11））若曲线(α∈r)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则。

答案】2 【解析】本题考查导数的计算以及导数的几何意义。函数的导数为，所以在点（1，2）处的切线斜率为，则切线方程为，因为切线过原点，所以，解得。

三、解答题。

9 ．（2023年高考浙江卷（文））已知a∈r,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax

ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值。

答案】解：(ⅰ当时，所以，所以在处的切线方程是：;

ⅱ)因为当时，时，递增，时，递减，所以当

时，且，时，递增，时，递减，所以最小值是；

当时，且，在时，时，递减，时，递增，所以最小值是；

综上所述：当时，函数最小值是；当时，函数最小值是；

10．（2023年高考重庆卷（文））(本小题满分12分，(ⅰ小问5分，(ⅱ小问7分)

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).

ⅰ)将表示成的函数，并求该函数的定义域；zhangwlx

ⅱ)讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大。zhangwlx

答案】11．（2023年高考陕西卷（文））已知函数。

ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；

ⅱ) 证明：曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点。

ⅲ) 设a【答案】解：(ⅰf (x)的反函数，则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.

过点(1,0)的切线方程为：y = x+ 1

ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。

因此，所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)

ⅲ) 设令。且

所以 12．（2023年高考大纲卷（文））已知函数。

i)求；ii)若。

答案】(ⅰ当时， .

令，得，.当时，在是增函数；

当时，在是减函数；

当时，在是增函数；

ⅱ)由得，. 当，时，

所以在是增函数，于是当时，.

综上，a的取值范围是。

13．（2023年高考辽宁卷（文））(i)证明：当

ii)若不等式取值范围。

请考生在第三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

答案】记f（x）=

ii）解法一因为当时。

解法二。于是(x)在[0,1]上试减函数，因此，当x∈(0,1)时，(x)＜(0)=a+2,故当a≤-2时，(x)<0，从而f(x)在[0,1]上试减函数，所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时，不等式。

下面证明，当a>-2时，不等式。

f(0)-a+2>2,当-2，所以f(x)在[0,]上试增函数，所以当时，>.

所以，当a>-2时，不等式。

14．（2023年高考四川卷（文））已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。

ⅰ)指出函数的单调区间；

ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：;

ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。

答案】解：(ⅰ函数的单调减区间为，单调增区间为，

ⅱ)由导数的几何意义知，点a处的切线斜率为，点b处的切线斜率为，

故当点处的切线互相垂直时，有，

当x<0时，

因为，所以 ,所以，

因此，当且仅当，即且时等号成立)

所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有。

ⅲ)当或时，故。

当时，的图象在点处的切线方程为

即 . 当时，的图象在点处的切线方程为

即 . 两切线重合的充要条件是，

由①及知，

由①、②得 ,

令，则，且

设，则所以为减函数，则，

所以，而当且t趋向于0时，无限增大，

所以的取值范围是。

故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是。

15．（2023年高考课标ⅱ卷（文））已知函数。

ⅰ）求的极小值和极大值；

ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。

答案】16．（2023年高考北京卷（文））已知函数。

ⅰ)若曲线在点)处与直线相切，求与的值。

ⅱ)若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。

答案】解：由，得。

i)因为曲线在点处与直线相切，所以

解得，. ii)令，得。

与的情况如下：

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值。

当时，曲线与直线最多只有一个交点；

当时，>,

所以存在，使得。

由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点。

综上可知，如果曲线与直线有且只有两个不同交点，那么的取值范围是。

17．（2023年高考课标ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)

已知函数，曲线在点处切线方程为。

ⅰ)求的值；

ⅱ)讨论的单调性，并求的极大值。

答案】ii) 由(i)知，

令从而当<0.

故。当。

18．（2023年高考天津卷（文））设，已知函数

ⅰ) 证明在区间(-1,1)内单调递减，在区间(1, +内单调递增；

ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行，且证明。

答案】19．（2023年高考福建卷（文））已知函数(,为自然对数的底数).

1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

2)求函数的极值； x k b 1 .c o m

3)当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值。

答案】解：(ⅰ由，得。

又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得。

当时，为上的增函数，所以函数无极值。

当时，令，得，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值。

综上，当时，函数无极小值；

当，在处取得极小值，无极大值。

ⅲ)当时，

令，则直线：与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解。

假设，此时，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故。

又时，知方程在上没有实数解。

所以的最大值为。

解法二： ⅰ)(同解法一。

ⅲ)当时，.

直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

在上没有实数解。

当时，方程(*)可化为，在上没有实数解。

当时，方程(*)化为。

令，则有。

令，得，当变化时，的变化情况如下表：

当时，同时当趋于时，趋于，

从而的取值范围为。

所以当时，方程(*)无实数解，

解得的取值范围是。

综上，得的最大值为。

20．（2023年高考湖南（文））已知函数f(x)=.

ⅰ)求f(x)的单调区间；

ⅱ)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，x1+x2<0.

答案】解： (

所以，. ⅱ)由(ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x)

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