课程解读。
一、课程目的：
通过学习本专题课程会解关于函数、导数方面的高考解答题。
二、授课提要：
函数，贯穿中学数学的一条主线，在中学数学中有着非凡的地位。高考重视它是正常的，也是应该的。又加上函数具有抽象性、灵活性、应用性。
仅这三大“性”，就可以设计出无穷多道，既有“华丽外表”又具“丰富内涵”的好题。看看去年全国各地19套理科试题，在解答中没有函数的只有广东与上海。这从另一个侧面又告诉我们，今年在这一“知识块”上，可能会有“大动作”。
因此，在接近高考的关键时刻，我提醒你：一定要将函数的复习提到日程上来。下面是对今年高考函数、导数的命题进行**，你一定要认真的读一读，相信它对你一定有帮助。
1、结合导数的几何意义考查基础知识的熟练性。
2、结合实际问题，考查应用函数与导数综合应用能力。
3、结合“三个二次”考查基本初等函数的性质及应用。
4、结合最值或范围考查导数的应用与技巧。
5、结合新定义考查创新意识与应用新知识的能力。
6、函数、导数、不等式联合设计压轴题。
三、考点分析：
课程安排。1、 常见应用题类型及其各种关系。
高考函数、导数高频考点。
第一节：结合导数的几何意义考查基础知识的熟练性。
一、**依据。
基础知识的掌握与基本技能的培养是中学数学教学的中心环节，也是中学数学教学的重要任务。因此，对基础知识与基本技能的考查，也理所当然的成为焦点。结合导数的几何意义考查基础知识的熟练性正是考查基础知识与基本技能的体现。
此题为中档偏上试题，试卷排列第三或第四，难度系数在左、右，是广大考生普遍得分之题。
二、基础知识与技能。
1、求曲线上以某点为切点的切线方程。
2、求经过某点的曲线的切线方程。
例1：已知函数。
（i）设曲线处的切线为与圆相切，求的值；
（ii）当时，是否存在实数在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
思路分析：1）题意分析：本题第一问实际上是求直线方程。第二问依然是求直线方程问题，主要看斜率是否存在，若存在，则直线存在。否则，直线不存在。
2）解题思路：第一问可以求出含字母要产生的切线方程，再结合与圆相切即可产生结论。第二问判断切线的斜率是否存在，为此可能要引入函数，再结合导数进行分析。
解答过程：（i）由。
因此，过点的切线方程为即。
又或。ii）依题意，曲线c的方程为令。
则。设，则。
当时，，此时为增函数，因此在区间上的最小值为即。
当时，，所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解。由于，方程无实数解。
故不存在实数在点处的切线与轴垂直。
解题后的思考：本题属于中档偏上型试题。第一问百分之八十的考生是可以得分的。
第二问的思路不难，其实就是判断方程有没有实数根，只是在判断的过程中有一定的灵活性，这方面正和广东近年的高考试题相接近“藏刚于柔之中”。
例2、函数在区间内可导，导函数是减函数，且，设是曲线在点）处的切线方程，并设函数。
（1）证明：当；
（2）若关于的不等式上恒成立，其中为实数，求的取值范围及与所满足的关系。
思路分析：1）题意分析：本题的第一问是不等式的证明。第二问是恒成立问题。
2）解题思路：第一问首先要构造函数，其次，判断所构造函数的单调性与极值，进一步产生结论。第二问注意利用最值进行转化，通过最值产生结果。
解答过程：（1）令则，由于，又递减，所以递增，因此，当；当。所以是唯一的极值点，且是极小值点，即的最小值为0，因此即
2）由在上恒成立，即在上恒成立，得；
再令，于是对任意成立的充要条件是，由，得；当时；当时，，所以，当时，取最小值。因此成立的充要条件是，即，综上，与所满足的关系为，此不等式有解的条件为，得；
故的取值范围为，与所满足的关系为；
解题后的思考：本题是导数的应用问题，涉及的知识与技能相当全面，从构造函数、判断单调性、求极值到求函数最值等，都得到充分的应用，难度不大，但要求技能、技巧娴熟。
易错题分析：已知函数是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有一个交点？若存在，求出的取值范围；，若不存在，说明理由。
易错点：有且只有一个交点，并非都是相切，可以通过函数的图像特征进行分析与求解。
解答过程：函数的图象与的图象有且只有一个交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有一个交点，由于，得。
显然，当时，，此时，函数是增函数；
当时，，此时，函数是减函数；
当时，，此时，函数是增函数；
因此，当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；
要使的图象与轴的正半轴有且只有一个交点，必须且只须或，即或；
故使得的图象与的图象有且只有一个交点的实数，其范围为或；
高考函数、导数高频考点。
第二节：结合实际问题，考查应用函数与导数综合应用能力。
一、**依据。
实际应用题是近年高考命题的热点，去年广东理科的分数高达34分。究其原因是应用题可以较好的考查考生分析问题与解决问题的能力、考查考生数学知识的应用能力。建立在函数应用的基础上，设计综合性试题，将函数、导数、不等式溶为一体，在求解方法上，既可以利用导数，也可以通过不等式，此类问题值得我们高度关注。
二、基础知识与技能。
1、将实际应用问题转化为数学问题，通过函数与导数加以解决。
2、应用导数求解函数问题的基本步骤。
例1：据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的a，b两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点c处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．
1）试将表示为的函数；
2）若，且时，取得最小值，试求的值．
思路分析：1）题意分析：本题第一问要求建立函数关系，第二问求函数的最值。
2）解题思路：第一问要抓住两个比例“污染指数与附近污染源的强度成正比”、“与到污染源距离的平方成反比”即可得到结果。第二问是导数的常规运算，按照基本步骤操作即可。
解答过程：（1）由题意可知，点c受a污染源的污染指数为，点c受b污染源的污染指数为，其中为比例系数，且．
那么，点c处的污染指数为。
2）因为，所以，
那么，令，得。
由于时，，此时，函数递减；时，，此时，函数递增；显然，当时，取得最小值。
结合题意可知，经验证符合题意．
所以，污染源b的污染强度的值为8．
解题后的思考： 本题的第一问难度不大，建立在条件的基础上，容易写出函数的解析式。第二问是导数的简单应用，只要注重常规步骤，一般都能较好的完成求解。
此题属于中档题，大多数考生在此题中可以得到较为理想的分数。
例2、如图，设电灯可沿铅垂线移动，问灯与水平面。
的距离多大时，才能使水平面上的点处获得最大亮度？（根据。
物理学知识可知：亮度与成正比，与距离的平方。
成反比，即，其中为正常数）
思路分析：1）题意分析：本题关键在于建立函数关系式。
2）解题思路：本题首先要分清常量与变量，然后再结合图形，将所满足的函数式表示出来，最后利用导数进行求解。
解答过程：由。
得，那么，令，得，时，；时，；
所以，当时有最大值，即处获得最大亮度。
解题后的思考：亮度问题是我们日常生活中最常遇到的，也是最有感受的。如何使亮度最大？本题先结合题目中的条件，得到亮度关于距离的函数关系，再用导数产生结论。
易错题分析：某银行准备新设一种定期存款业务，经**，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为时，存款量为亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若存款的利率为，存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？
易错点：本题在运算过程中，由于数据的因素，往往因粗心而导致出现错误。
解答过程：由题意，存款量，又当利率为时，存款量为亿，即时，；由，得，那么。
银行应支付的利息。
设银行可获收益为，则。
由于，，令即，得或。
因为，时，，此时，函数递增；
时，，此时，函数递减；
故当时，有最大值，其值约为亿。
高考函数、导数高频考点。
第三节：结合“三个二次”考查基本初等函数的性质及应用。
一、**依据。
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数简称“三个二次”，它们互相联系、互相渗透组成了一个特殊的“知识板块”，这个“知识板块”的内容异常丰富，技能、技巧变化多端。因此，它成了高考命题的难点、热点。
二、基础知识与技能。
1、二次函数解析式的三种表示形式及相应与解析式的顶点坐标与对称轴方程。
2、二次方程的韦达定理及根的判别式。
例1：规定：与分别表示中的最大数与最小数，若正系数二次函数的图像与轴有公共点。
试证：（1）；（2）；
思路分析：1）题意分析：本题的两问，其实质都是不等式的证明。
2）解题思路：如何从中的选出最大数与最小数是求解的关键。
解答过程：由题意知，，.
1）若，结论显然成立；下面证时，结论也成立：
为书写方便，记。由可知，而，所以，即，解得或。若，则。
因此，必有或或，于是。
2）若，结论显然成立；下面证明时，结论也成立：
因为且，所以，整理为，解得。
因此，必有或，于是。
解题后的思考：本题是一道典型的关于“三个二次”方面的创新题，证明过程中贯穿着分类与整合思想，且推理中涉及到的逻辑知识非常多。正确理解新定义与非常关键，而且多次利用了逻辑中的“或”为真（如，为真，则为真；或或，于是）.
显然，对于训练证明技巧，发展逻辑推理的思维能力，掌握证明的思路都很有帮助。
例2、若在区间上恒有。
1）对所有这样的求的最大值。
2）试给出一个这样的，使确定取到上述最值。
思路分析：1）题意分析：本题主要考查绝对值不等式的证明技巧。
2）解题思路：第一问首先要将用特殊值来表示出来，然后再利用绝对值不等式的性质。第二问注意第一问不等式转化过程中等号成立的条件。
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