导数复习建议十例。
1.（2013北京高考）设l为曲线c：在点(1，0)处的切线。
)求l的方程；()证明：除切点(1，0)之外，曲线c在直线l的下方。
选择理由：适度把握2023年北京高考18题传递的信息。
2. （2023年西城期末理科18题） 已知函数，其中是自然对数的底数，.
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由。
解：（ⅰ因为，所以2分。
令，得3分。
当变化时，和的变化情况如下：
………5分。
故的单调减区间为；单调增区间为．……6分。
ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点7分。
理由如下：由，得方程。
显然为此方程的一个实数解。
所以是函数的一个零点9分。
当时，方程可化简为。
设函数，则，令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
即的单调增区间为；单调减区间为．
所以的最小值11分。
因为， 所以，所以对于任意，因此方程无实数解．
所以当时，函数不存在零点。
综上，函数有且仅有一个零点13分。
选择理由：第二问转化求解与高考题处理思路相似，此题也可以改编成高考题的问题，高考题的问题也可以改编成零点存在性问题。
3.（2013丰台期末理科18）已知函数，的导函数为。
ⅰ）当=0时，求的最小值；
ⅱ）设，求函数的单调区间。
解：（ⅰ函数f(x)的定义域为。
当=0时1分。
令得2分 5分。
∴的最小值为6 分。
7分。8分。
9分。1）当时，在，内；在内。
为递减区间，递增区间11分。
(2)当时，在内，；在内，.
递减区间，递增区间13分。
综上所述，当时，单调递增区间为，递减区。
间为；当时，单调递增区间为，减区间。
为14分。选择理由：2问函数的单调性中，如何优化导函数的结构以方便讨论。讨论时结合定义域简化分类方案。
4. (2023年上海高考理科)对定义域分别是df、dg的函数y＝f(x)、y＝g(x)，规定：
函数h(x)＝，1)若函数f(x)＝，g(x)＝x2，x∈r，写出函数h(x)的解析式；
2)求问题(1)中函数h(x)的值域；
3)若g(x)＝f(x＋α)其中α是常数，且α∈[0，π]请设计一个定义域为r的函数y＝f(x)，及一个α的值，使得h(x)＝cos4x，并予以证明。
解：(1)h(x)＝.
2) 当x≠1时，h(x)＝＝x﹣1＋＋2，若x＞1时，则h(x)≥4，其中等号当x＝2时成立，若x＜1时，则h(x)≤0，其中等号当x＝0时成立，函数h(x)的值域是(﹣∞0]∪∪4，＋∞
3)令f(x)＝sin2x＋cos2x，α＝则g(x)＝f(x＋α)sin2(x＋)＋cos2(x＋)＝cos2x﹣sin2x,于是h(x)＝f(x)·f(x＋α)sin2x＋co2sx)(cos2x﹣sin2x)＝cos4x.
选择理由：以分段函数为载体的问题越来越多，大部分涉及到的是小题对函数性质的考察。这里选择这个题目一来强调对分段函数的重视，二来对大题的考察方向可做点不同的尝试，当然如果这个设计中涉及到导数及其应用那就很有新意了。
5. (2013昌平期末19题)已知函数。
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间。
解：（ⅰ当时，.
因为，所以。
因为，所以函数在点处的切线方程为。 …6分。
1）当时，.
因为，当时，.
所以函数的单调减区间为，无单调增区间。
2）当时， 的定义域为。
当时，所以函数的单调减区间为，无单调增区间。
3）当时，.
① 当时，若，则，若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为。
当时，，为常数函数，无单调区间。
当时，若，则，若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为。
综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时， 当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为；
当时，，为常数函数，无单调区间；
当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为 ……13分。
选择理由：一练习分类讨论，二强调定义域。
6.（2013北京高考文科18）已知函数。
1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。
2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。
解：（1）因为曲线在点处的切线为。
所以，即，解得。
2）因为。所以当时，单调递增。
当时，单调递减。
所以当时，取得最小值，所以的取值范围是此过程有待完善。
选择理由：1北京导数大题选用三角还是第一次，此处强调基本初等函数求导公式。2对于第二问b范围的讨论如何能够把“有两个不同交点”说清楚。
7.（2010西城期末文科19题）已知函数。
ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。
解：(ⅰ由已知2分。
故曲线在处切线的斜率为4分。
5分。当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为6分。
当时，由，得。
在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
8分。ⅲ）由已知，转化为9分。
10分。由(ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意。
或者举出反例：存在，故不符合题意11分。
当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，， 13分。
所以，解得14分。
选择理由：1区分恒成立与存在性问题的转化，2强调对于反例部分的问题的认识。
8. （2013石景山期末18题）已知函数（为自然对数的底数）.
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围。
解：（ⅰ当时，，，
得2分。所以曲线在点处的切线方程为3分。
当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间； …5分。
当时，时，，时，此时的单调递增区间为，单调递减区间为。
………7分。
ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值。
………8分。
因为，所以在上有解，即使成立， …9分。
即使成立10分。
所以。令，所以在上单调递减，在上单调递增，则12分。
所以13分。
选择理由：引导学生就函数与方程，函数与不等式之间的转化关系做些梳理。下题也是如此。
9.已知函数．
ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
解：函数的定义域为，1分。
ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，即3分。
ⅱ）函数的定义域为．
1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减． …4分。
2）当时，ⅰ）若，由，即，得或； …5分。
由，即，得6分。
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