第二章导数与微分第三节导数的运算。
一、隐函数求导法。
前面我们所遇到的函数都是yf(x)的形式，就是因变量y可由自变量x的数学式子直接表示出来的函数，叫做显函数。例如：
ycosx，yln(1
1x)等。但是有些函数的表达方式却不。
是这样，例如方程xy10与exy0也表示一个函数，y
因为当自变量x在(,)内取值时，变量y有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数。
一般地，如果变量x,y之间的函数关系是由某一个方程。
f(x,y)0所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数。
把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化。例如由方程。
xy10解出y
1x，就把隐函数化为了显函数，但有的。
y隐函数不易显化甚至不可能显化。例如，由方程exy0所确定的隐函数就不能用显式表示出来。
对于由方程f(x,y)0所确定的隐函数求导当然不能完全寄希望于把它显化，关键是要能从f(x,y)0直接把。
dydx求出来。
我们知道，把方程f(x,y)0所确定的隐函数yf(x)代入原方程，结果是恒等式f[x,f(x)]0.把这个恒等式的两端对x求导，所得到的结果也必然相等，但应注意，左端f[x,f(x)]是将。
yf(x)代入f(x,y)后所得到的结果，所以，当方程f(x,y)0
两端对x求导时，要记住y是x的函数，然后用复合函数求导法去求导，这样便可得到欲求的导数。
例1：求由方程xyexey0所确定的隐函数的导数解：把方程xyexey0的两端同时对x求导，得yxy'eey'0，dydx
eyexyxxy
dydx由上式解出y'.
dydx例2：求由方程xylny1所确定的隐函数的导数解：把方程xylny1的两端同时对x求导，y'ydydx
得yxy'0，由上式解出y'y
1xy例3：求曲线xy2x3y20的切线，使该切线平行于直线2xy10.
解：由隐函数求导法有2x2yy23y0，22x2y3
所以曲线切线的斜率为y，设切点坐标为(x0,y0)，则有x0y02x03y020，①又知所求切线平行于直线2xy10，所以。
yxy022x02y03
联立①、②解得切点坐标为(2,1)和(0,2)，因此，所求切线方程为y12(x2)和y22(x0)，即2xy3和2xy2.
二、对数求导法。
对函数先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，我们把这种方法称为对数求导法。
例4：设y(x1)3(3x1)(x2)，求y'.解：先在等式两边取绝对值，再取对数，得lnylnx1
ln3x1
lnx2，2
两端对x求导，得。1x1
y'y31x11
33x1).
3x2故。
y'y(33x1
3x2x1)3(3x1)(x2)[
1x123x1
13(x2)
x例5：已知y
x(x1)(x2)
求y.1x
解：两边取对数，得lny两边对x求导，得。1yy1x
lnxln(x1)2ln(x2)，2
lnxln(x1)2ln(x2)]
112x2[2]，xxx1x2
x故yx(x1)(x2)
1xlnx(x1)(x2)
1x2x12x(x2)
例6:求由下列方程所确定的函数的导数。(1)y(cosx)sinx(2)xyyx.
解：(1)两边同时取对数，得lnysinxlncosx，两边同时对x求导，得。
y'ycosxlncosxsinx
sinxcosx
cosxlncosxsinxtanx，故y'(cosx)
sinxcosxlncosxsinxtanx).
2)两边同时取对数，得ylnxxlny，yx
xylnyyxylnxx
小结：对数求导法适合两类函数的求导：(1)幂指函数，(2)函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的。
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